[jzoj 6093] [GDOI2019模拟2019.3.30] 星辰大海 解题报告 (半平面交)

题目链接：

https://jzoj.net/senior/#contest/show/2686/2

题目：

题解：

说实话这题调试差不多花了我十小时，不过总算借着这道题大概了解了计算几何的基础知识

首先，若$1$号星与其他两颗星共线，那么显然新出现的 1 号星也必须在这条线上，因此可行的面积为 0 ，下文我们考虑 1 号星不与其他任意两颗星共线的情况

一个$O(n^2 log n)$的做法是枚举每一对星，$1$号星移动必然不能越过每一对星形成的直线，这样我们就可以通过半平面交解决这个问题

事实上，在这$O(n^2)$条直线中很多是冗余的，我们考虑只选出可能产生贡献的

1.考虑半平面$p_2-p_3,p_4-p_3,...,p_n-p_2$

2.令与星$p_i$极角相差不超过 $π$，且极角相差最大的星为 $p_j$ ，考虑半平面 $p_i−p_j$

然后运行半平面交即可

显然策略$1$是成立的，策略$2$画画图就很显然了

若$p_j$与$p_i$之间还有点$p_z$，那么显然$p_i-p_z$会被$p_i-p_j$遮挡掉，因为我们是要绕着原点的

特别需要注意的是我们每次添加直线要确保原点在所有直线左侧(或者在所有直线的右侧也可以，代码是左侧)

代码：

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#define il inline
using namespace std;
typedef double db;

const int N=1e6+15;
const db pi=acos(-1.0);
const db eps=1e-15;
int n,cnt;
il int dcmp(db x) {return fabs(x)<eps?0:x<0?-1:1;}
struct point
{
    db x,y;db ang;
    point (db _x=0,db _y=0):x(_x),y(_y) {ang=atan2(y,x);}
}p[N];
bool operator < (point a,point b) {return dcmp(a.ang-b.ang)<0;}
point operator + (point a,point b) {return (point){a.x+b.x,a.y+b.y};}
point operator - (point a,point b) {return (point){a.x-b.x,a.y-b.y};}
point operator * (db t,point a) {return (point){a.x*t,a.y*t};} 
db det(point a,point b) {return a.x*b.y-a.y*b.x;}
struct seg
{
    int a,b;db ang;
    seg(int _a=0,int _b=0):a(_a),b(_b) {ang=atan2(p[b].y-p[a].y,p[b].x-p[a].x);};
}l[N];
bool segleft(seg x,seg y)
{
    point u=p[x.b]-p[x.a];
    point v=p[y.b]-p[y.a];
    db tp=det(u,v);
    return (tp>0)||((tp==0)&&det(u,p[y.a]-p[x.a])>0);
}
bool operator < (seg x,seg y)
{
    db o=x.ang-y.ang;
    if (!dcmp(o)) return segleft(y,x);
    return dcmp(o)<0;
}
inline int read()
{
    char ch=getchar();int s=0,f=1;
    while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9') {s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return s*f;
}
point inter(seg x,seg y)//x与y的交点 
{
    point u=p[x.b]-p[x.a];
    point v=p[y.b]-p[y.a];
    point w=p[x.a]-p[y.a];
    db d=det(w,v)/det(v,u);
    return p[x.a]+d*u;
}
bool pright(seg x,point y)//点y是不是在直线x的右侧 
{
    point a=p[x.b]-p[x.a];
    point b=y-p[x.a];
    return dcmp(det(a,b))<=0;
}
void add(int x,int y)//确保原点在左侧 
{
    if (pright(seg(x,y),point(0,0))) l[++cnt]=seg(y,x);
    else l[++cnt]=seg(x,y); 
}
int qu[N];
point a[N];
void work()
{
    sort(l+1,l+1+cnt);
    int he=1,ta=0;
    qu[++ta]=1;
    for (int i=2;i<=cnt;i++)
    if (dcmp(l[i].ang-l[i-1].ang))
    {
        while (he<ta&&pright(l[i],inter(l[qu[ta]],l[qu[ta-1]]))) --ta;
        while (he<ta&&pright(l[i],inter(l[qu[he]],l[qu[he+1]]))) ++he;
        qu[++ta]=i;
    }
    while (he<ta&&pright(l[qu[he]],inter(l[qu[ta]],l[qu[ta-1]]))) --ta;
    if (ta-he<=1) 
    {
        puts("0.000000000");
        return;
    }
    int tp=0;
    qu[he-1]=qu[ta];
    for (int i=he;i<=ta;i++) a[++tp]=inter(l[qu[i]],l[qu[i-1]]);
    a[tp+1]=a[1];
    db res=0;
    for (int i=1;i<=tp;i++) res+=det(a[i],a[i+1]);
    printf("%.10lf
",res*0.5);
}
int main()
{
    freopen("everdream.in","r",stdin);
    freopen("everdream.out","w",stdout);
    int NUM=read(),T=read();
    while (T--)
    {
        n=read()-1;
        p[0].x=1.0*read();p[0].y=1.0*read();
        for (int i=1;i<=n;i++) p[i].x=1.0*read()-p[0].x,p[i].y=1.0*read()-p[0].y,p[i].ang=atan2(p[i].y,p[i].x);
        cnt=0;
        sort(p+1,p+1+n);
        for (int i=1;i<=n;i++) p[n+i]=p[i],p[n+i].ang+=2*pi;
        bool flag=0;
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            if (!dcmp(p[i].ang-p[i+1].ang)) {flag=1;break;}
            add(i,i%n+1);
            point ty=(point){0,0};ty.ang=p[i].ang+pi;
            int t=lower_bound(p+1,p+1+2*n,ty)-p;
            if (t!=i+n&&!dcmp(p[t].ang-p[i].ang-pi)) {flag=1;break;}
            --t;
            if (i!=t&&i+n!=t) add(i,(t-1)%n+1);
        }
        if (flag) {puts("0.000000000");continue;}
        p[n+1]=(point){-1e6,-1e6};p[n+2]=(point){1e6,-1e6};
        p[n+3]=(point){1e6,1e6};p[n+4]=(point){-1e6,1e6};
        p[n+1]=p[n+1]-p[0];p[n+2]=p[n+2]-p[0];
        p[n+3]=p[n+3]-p[0];p[n+4]=p[n+4]-p[0];
        add(n+1,n+2);add(n+2,n+3);
        add(n+3,n+4);add(n+4,n+1);
        work();
    }
    return 0;
}