一.欧几里德法求逆元
定理：对于方程$ax+by=1$，得到解x y，x就是a关于b的逆元，同理y就是b关于a的逆元
如何证明呢？
如下：
已知方程$ax+by=1$
在等式两边同时模b，得：
得$ax≡1(mod b)$
证毕
二.费马小定理求逆元
根据费马小定理，$a^{p-1} equiv 1 \, ( mod p)$ p为质数，任意的$1<=a<p$满足
接下来在左右两边同除以a
$$a^{p-2}≡a^{-1} \, (mod p)$$
$$inv(a)=a^{-1}=a^{p-2} \, mod \, p$$
3.线性推逆元
设$p=ki+r,i<p,0<=r<i$
于是我们有$ki+r equiv 0 \, (mod p)$
左右同时乘上$i^{-1},r^{-1}$，得到
$$kr^{-1}+i^{-1} equiv 0 \, (mod p)$$
$$i^{-1} equiv -kr^{-1} \, (mod p)$$
$$i^{-1} equiv -lfloor frac{p}{i} floor (p mod i)^{-1} \, (mod p)$$
$$inv(i)=-lfloor frac{p}{i} floor inv(p \, mod \, i)$$
注意到逆元是正数，我们还需要转化为在模意义下的正数形式