[JZOJ4024] [佛山市选2015] 石子游戏解题报告

Description

Alice 和 Bob 总喜欢聚在一起玩游戏（T_T），今天他（她）们玩的是一款新型的取石子游戏。游戏一开始有N堆石子，Alice 和 Bob 轮流取出石子。在每次操作中，游戏者必须选择其中的一堆石子，并作出下列的其中一种操作：
(1)移去整堆石子
(2)假设石子堆中有X颗石子，取出Y颗石子，其中1<=Y，（Y,X）=1
游戏结束的条件是：取出最后一颗石子的人胜出。众所周知，Alice和Bob都是绝顶聪明的，假设他们在游戏中都采取最优的策略，问最后谁会胜出游戏呢？

Alice先取。

Input

第一行包含一个整数T，表示测试数据的组数。
接下来T组测试数据，在每组数据中，第一行包含一个整数N，表示有多少堆石子。第二行N个正整数，分别表示每堆有多少颗石子。

Output

每组测试数据输出一行，表示获胜者的名字（Alice 或者 Bob）。

Sample Input

3
3
3 5 6
4
2 3 6 9
5
3 2 1 1000000 999999

Sample Output

Alice
Bob
Alice

Data Constraint

20%的数据，N<=5，每堆石子数量少于10
100%的数据，T<=100，N<=100，每堆石子数量不大于1,000,000

题目大意就不解释了

考虑构造这个游戏的SG函数

SGi = mex ( { SGi }( i, j )=1 ∪ { 0 } ) 其中 mex 表示集合中最小没有出现过的自然数

为什么是这样的呢？我们联想到传统的取石子游戏，并且由于（Y,X）是互质的，（X,X-Y）也是互质的。i=X，j=X-Y

下面我们讨论这个SG函数的性质：

首先 SG0 = 0（终止态）。

若 i 是质数，那么对于小于 i 的所有正整数都可以被取到，那么 SGi则应为之前出现过的所有 SG 值中最大者+1，我们不难发现质数们的 SG 值是递增的。

若 i 是一个合数，那么 i 肯定存在某个因子为前面出现过的质数，于是 SGi 最多为该质因子的 SG 值。又有质数们的 SG 值是递增的，那么 SGi 就应为最小质因子的 SG 值了。

我们发现合数必定不能产生新的 SG 值，它必定为其某个质因子的 SG 值。于是第 k 个质数的 SG 值就是 k+1 了。类似线性筛质数的原理，我们可以线性筛出 SG 值了。

下面讲解分石子问题：

NIM问题是博弈论经典问题，一个典型的组合游戏问题，很多游戏问题都可以规约到Nim游戏问题。Nim游戏问题是一个ICG（Impartial Combinatorial Games）问题；

ICG问题的特征是：

1.两个人参与，交替走棋；

2.可能的走法在一个有限的集合里选取；

3.游戏局面无后效性，未来与过去无关；

4.如果某选手无法走动，则判负；

Nim的理论

游戏状态只分两种：当前先手必胜，当前先手必败；前者称为N位置，后者称为P位置；

更为严谨的定义是：

终止状态是P位置；

能够移动到P位置的状态时N位置；

只能到N位置的状态时P位置；

简单地说，就是在这个博弈中，给定n堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家同时行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者胜利。两人都采取最优策略，问先手能否必胜

定理：

NIM博弈先手必胜，并且仅当A1 xor A2 xor ... xor An！=0

证明：

所有的物品都被取光是一个必败局面（对方取走了最后一个物品，已经取得胜利），此时显然有A1 xor A2 xor ... xor An=0。

对于任意一个局面，若A1 xor A2 xor ... xor An = x != 0。设x的二进制最高位的1在k位，那么至少存在一堆石子Ai，它的第k位是1。显然Ai xor x < Ai,我们就从Ai堆中取走若干个石子，让它变成Ai xor x，就得到了一个各堆石子异或起来等于0的局面。

对于任意一个局面，如果A1 xor A2 xor ... xor An=0，那么无论如何取石子，得到的局面下各堆石子异或起来都不为0.可用反证法证明，假设Ai被取成了Ai0，并且A1 xor A2 xor ... xor Ai0 xor ... xor An = 0,由异或运算的消去律得Ai0=Ai，与“不能不取石子矛盾”

综上所述，再有数学归纳法可知，A1 xor A2 xor ... xor Ai0 xor ... xor An ！=0,为必胜局面，一定存在必胜一种行动让对手陷入各堆石子都异或成0的情况。而在必败局面里，无论什么行动，都会让对手陷入各堆石子都异或成不为0的情况的必胜局面。

证毕

#include<cstdio>
using namespace std;

int p[1000010],f[1000010],SG[1000010];
int num,n,ass,t;
void get(){
    for (int i=2; i<1000010; i++){
        if(!f[i]) p[++num]=i,SG[i]=num+1;
        for (int j=1; j<=num && (j==1 || i%(p[j-1])) && p[j]*i<1000010; j++)
            f[p[j]*i]=-1,SG[p[j]*i]=j+1;
    }
}

int main()
{
    SG[1]=1;
    get();
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1; i<=t; i++,ass=0)
    {
        int j;
        scanf("%d",&j);
        for(;j;j--)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            ass^=SG[x];
        }
        printf(ass?"Alice
":"Bob
");
    }
}