引入：
最长公共子序列常用于解决字符串的相似度问题。
最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）与最长公共字串（Longest Common Substring）：子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列顺序，而从序列中去掉任意多个元素而获得的新的序列；也就是说，子串中字符的位置一定是连续的，而子序列不一定连续。
a not the 之一(得到的未必就是唯一的那个最长公共子串，只有长度是唯一的)
——其余字符串问题，待续
解决方案：
1、穷举法（Bruke force alg ）
a[m] and b[n]
check every sequence of a ，to see if it is a sequence of b .
analysis:
check = O(N)
2^m subsequence of a
so O(n*2^m)=slow
不可取：一个长度为N的字符串，其子序列有2^N个，指数级的复杂度。
2、递归法
对于字符串a[ ]和 b[ ]，当a与b位置上的字符相同时，则直接求解下一个位置，当不同时取两种情况下较大的数值。
1 #include<stdio.h> 2 3 #include<string.h> 4 5 char a[30],b[30]; 6 7 int lena,lenb; 8 9 int LCS(int,int); ///两个参数分别表示数组a的下标和数组b的下标 10 11 int main() 12 13 { 14 15 strcpy(a,"ABCBDAB"); 16 17 strcpy(b,"BDCABA"); 18 19 lena=strlen(a); 20 21 lenb=strlen(b); 22 23 printf("%d ",LCS(0,0)); 24 25 return 0; 26 27 } 28 29 int LCS(int i,int j) 30 31 { 32 33 if(i>=lena || j>=lenb) 34 35 return 0; 36 37 if(a[i]==b[j]) 38 39 return 1+LCS(i+1,j+1); 40 41 else 42 43 return LCS(i+1,j)>LCS(i,j+1)? LCS(i+1,j):LCS(i,j+1); 44 45 }
优点：容易理解，编程简单，
缺点：效率低下，有大量重复执行的递归调用，且只能求出最大公共子序列的长度，不能得到具体的公共子序列。
3、动态规划
改进：采用二维数组来标记中间结果，避免重复的计算以便提高效率。
对于字符串a[]和 b[]，num[i][j]记录序列a[ i]和 b[j ]的最长公共子序列的长度，其中，a[ i]即{a1,a2,....,ai}和 b[j ]即{b1,b2,....,bj}
b[i][j]来记录c[i][j]的值是由哪一个子问题的解得到的。
1 #include<stdio.h> 2 3 #include<string.h> 4 5 6 7 char a[500],b[500]; 8 9 char num[501][501]; ///记录中间结果的数组 10 11 char flag[501][501]; ///标记数组，用于标识下标的走向，构造出公共子序列 12 13 void LCS(); ///动态规划求解 14 15 void getLCS(); ///采用倒推方式求最长公共子序列 16 17 18 19 int main() 20 21 { 22 23 int i; 24 25 strcpy(a,"ABCBDAB"); 26 27 strcpy(b,"BDCABA"); 28 29 memset(num,0,sizeof(num)); 30 31 memset(flag,0,sizeof(flag)); 32 33 LCS(); 34 35 printf("%d ",num[strlen(a)][strlen(b)]); 36 37 getLCS(); 38 39 return 0; 40 41 } 42 43 44 45 void LCS() 46 47 { 48 49 int i,j; 50 51 for(i=1;i<=strlen(a);i++) 52 53 { 54 55 for(j=1;j<=strlen(b);j++) 56 57 { 58 59 if(a[i-1]==b[j-1]) ///注意这里的下标是i-1与j-1 60 61 { 62 63 num[i][j]=num[i-1][j-1]+1; 64 65 flag[i][j]=1; ///斜向下标记 66 67 } 68 69 else if(num[i][j-1]>num[i-1][j]) 70 71 { 72 73 num[i][j]=num[i][j-1]; 74 75 flag[i][j]=2; ///向右标记 76 77 } 78 79 else 80 81 { 82 83 num[i][j]=num[i-1][j]; 84 85 flag[i][j]=3; ///向下标记 86 87 } 88 89 } 90 91 } 92 93 } 94 95 96 97 void getLCS() 98 99 { 100 101 102 103 char res[500]; 104 105 int i=strlen(a); 106 107 int j=strlen(b); 108 109 int k=0; ///用于保存结果的数组标志位 110 111 while(i>0 && j>0) 112 113 { 114 115 if(flag[i][j]==1) ///如果是斜向下标记 116 117 { 118 119 res[k]=a[i-1]; 120 121 k++; 122 123 i--; 124 125 j--; 126 127 } 128 129 else if(flag[i][j]==2) ///如果是斜向右标记 130 131 j--; 132 133 else if(flag[i][j]==3) ///如果是斜向下标记 134 135 i--; 136 137 } 138 139 140 141 for(i=k-1;i>=0;i--) 142 143 printf("%c",res[i]); 144 145 } 146 147