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  • [状压DP思路妙题]图

    • 源自 luhong 大爷的 FJ 省冬令营模拟赛题

    Statement

    • 给定一个 (n) 个点 (m) 条边的图,没有重边与自环

    • 每条边的两端点编号之差不超过 (12)

    • 求选出一个非空点集使其导出子图连通的方案数模 (2) 后的结果

    • (nle 50)(mleinom n2)

    Solution

    • 妙啊!!!( imes 3)

    • 首先我们注意到:对于一个非空图,(2^{连通块个数}equiv[图是否连通] imes 2(mod 4))

    • 于是考虑转化成对于所有的点集,计算出 (2^{连通块个数}) 的和 (mod 4) 的结果

    • 由于 (2|4) ,且空集的贡献为 (1),所以上面的结果除以 (2) 下取整后就是答案

    • 看上去好像好像更不好做

    • 考虑组合意义:对选出的所有点黑白染色,使得任意边的两个端点颜色相同的方案数

    • 由于边两端点之差不超过 (12),可以有一个 DP:(f[i][S]) 表示前 (i) 个点,最后 (11) 个点的状态为 (S)(三进制数,储存白/黑/不在点集内三种情况)

    • 转移枚举下一个点的状态即可

    • (O(n imes3^{11}))

    Code

    • 咕咕咕
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