欧几里得算法

欧几里得算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数的最大公约数。

辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：

⒈ 若 r 是 a ÷ b 的余数，且r不为0， 则

gcd(a,b) = gcd(b,r)

⒉ a 和其倍数之最大公因子为 a。

另一种写法是：

⒈ 令r为a/b所得余数（0≤r

若 r= 0，算法结束；b 即为答案。

⒉ 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。

实现：

int gcd(int a, int b) {

return b ? gcd(b, a % b) : a;

}

int gcd(int a, int b) {

if(b == 0) return a;

else return gcd(b, a % b);

}

//***********************************************************************************************
/*
    欧几里得算法也称辗转相除法，如果要求a，b的最大公约数，则gcd(a, b) = gcd(b, a % b)，
直到a % b = 0，此时b就是要求的最大公约数。
    扩展欧几里得算法是在求最大公约数的基础上求出一组x，y使得x*a + y*b = gcd(a, b)。
这个方程是有多解的，以下算法所求的是满足|x|+|y|最小的一组x0，y0。可以以此x0,y0表示方程
的通解：
    x = x0 + (b / a) * t
    y = y0 - (a / b) * t 
    现在我们需要求x,y使之满足a*x + b*y = gcd(a, b)。已知它的下一个状态是b*x1 + a%b*y1 = gcd(a, b)。
而a%b可以写成a - (a / b) * b（a/b为指的是整除）。可推得：
    gcd(b, a % b) = b * x1 + (a - (a / b) * b) * y1
                  = a * y1 + b * (x1 - (a / b) * y1)
    gcd(a, b)     = a * x  + b * y
    所以：
    x = y1;
    y = x1 - (a / b) * y1
    在最终状态时, a = gcd, b = 0。此时就领x = 1, y = 0。（y可以是任何值，等于0时求出来的特解就是
|x| + |y|最小的解）。
*/
//************************************************************************************************

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<conio.h>

using namespace std;

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    else return gcd(b, a % b);
}

int e_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    else {
        int ans = e_gcd(b, a % b, x, y);
        int temp = x;
        x = y;
        y = temp - (a / b) * y;
        return ans;
    }
}

int main() {
    int a, b;
    while (cin >> a >> b) {
        int x, y;
        int d1, d2;
        d1 = gcd(a, b);
        d2 = e_gcd(a, b, x, y);
        printf("%d %d %d %d
", d1, d2, x, y);
    }
    _getch();
    return 0;
}

 

//***********************************************************************************************
/*
    欧几里得算法也称辗转相除法，如果要求a，b的最大公约数，则gcd(a, b) = gcd(b, a % b)，
直到a % b = 0，此时b就是要求的最大公约数。
    扩展欧几里得算法是在求最大公约数的基础上求出一组x，y使得x*a + y*b = gcd(a, b)。
这个方程是有多解的，以下算法所求的是满足|x|+|y|最小的一组x0，y0。可以以此x0,y0表示方程
的通解：
    x = x0 + (b / a) * t
    y = y0 - (a / b) * t 
    现在我们需要求x,y使之满足a*x + b*y = gcd(a, b)。已知它的下一个状态是b*x1 + a%b*y1 = gcd(a, b)。
而a%b可以写成a - (a / b) * b（a/b为指的是整除）。可推得：
    gcd(b, a % b) = b * x1 + (a - (a / b) * b) * y1
                  = a * y1 + b * (x1 - (a / b) * y1)
    gcd(a, b)     = a * x  + b * y
    所以：
    x = y1;
    y = x1 - (a / b) * y1
    在最终状态时, a = gcd, b = 0。此时就领x = 1, y = 0。（y可以是任何值，等于0时求出来的特解就是
|x| + |y|最小的解）。
*/
//************************************************************************************************

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<conio.h>

using namespace std;

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    else return gcd(b, a % b);
}

int e_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    else {
        int ans = e_gcd(b, a % b, x, y);
        int temp = x;
        x = y;
        y = temp - (a / b) * y;
        return ans;
    }
}

int main() {
    int a, b;
    while (cin >> a >> b) {
        int x, y;
        int d1, d2;
        d1 = gcd(a, b);
        d2 = e_gcd(a, b, x, y);
        printf("%d %d %d %d
", d1, d2, x, y);
    }
    _getch();
    return 0;
}