递归的正确切入方法

一、递归的定义

定义: 当函数直接或者间接调用自己时，则发生了递归。

二、理解递归

先举个递归在阶乘中的例子：阶乘的定义: “一个正整数的阶乘是所有小于或等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。”

以下是C++的实现:

int factorial(int n)
{
	if(n <= 1)
		return 0;
	else
		return n * factorial(n-1);
	
}

 分析：我们很容易判断当n = 某个较小数值时这个阶乘的递归计算是否是正确。比如当n = 4时, 那么factoria(4)等于4 * factoria(3), 而factoria(3)等于3 * factoria(2)，factoria(2)等于2 * factoria(1)，等于2 * 1，所以factoria(4)等于4 * 3 * 2 * 1。

反思：这种分析已经有点门路了，可是怎么拓展到一般情况呢？

Paul Graham提到一种方法, 给我很大启发, 该方法如下:

1. 当n=0,1的时候，结果正确；
2. 假设函数对于n是正确的, 函数对n+1结果也正确。
3. 如果这两点是成立的，我们知道这个函数对于所有可能的n都是正确的。

这种方法很像数学归纳法, 也是递归正确的思考方式, 事实上, 阶乘的递归表达方式就是1! = 1，n! = (n-1)! × n，当程序实现符合算法描述的时候, 程序自然对了, 假如还不对, 那是算法本身错了…… 相对来说，n,n+1的情况为通用情况, 虽然比较复杂, 但是还能理解, 最重要的, 也是最容易被新手忽略的问题在于第1点, 也就是基本用例(base case)要对. 比如, 上例中, 我们去掉if(n<=1)的判断后, 代码会进入死循环, 永远不会结束。

 

三、寻找问题的递归算法

 

在解题时，想运用递归却无从下手？

你只需要做两件事情：

1. 示范如何解决问题的一般情况, 通过将问题切分成有限小并更小的子问题；
2. 示范如何通过有限的步骤，来解决最小的问题(基本用例)；
3. 因为递归每次都将问题变得更小，而一个有限的问题终究会被解决的，而最小的问题仅需几个有限的步骤就能解决。

四、实战运用

 

汉诺塔问题：有三根杆子A，B，C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆：1.每次只能移动一个圆盘；2.大盘不能叠在小盘上面。

 

如何使用递归？

一般情况：
当有N个圆盘在A上，我们已经找到办法将其移到C杆上了，我们怎么移动N+1个圆盘到C杆上呢? 很简单, 我们首先用将N个圆盘移动到C上的方法将N个圆盘都移动到B上, 然后再把第N+1个圆盘(最后一个)移动到C上, 再用同样的方法将在B杆上的N个圆盘移动到C上。问题解决。

基本用例：
当有1个圆盘在A上，我们直接把圆盘移动到C上即可。

 

C++代码：

// 汉诺塔
# include  <stdio.h>
void hanoi ( int n, char a,  char b,  char c )         //这里代表将a柱子上的盘子借助b柱子移动到c柱子
  {  if  (1 == n)                                          //如果是一个盘子直接将a柱子上的盘子移动到c
         {
            printf("%c-->%c
",a,c);
          }
       else
           {
             hanoi ( n-1,  a,  c,  b ) ;                  //将a柱子上n-1个盘子借助c柱子，移动到b柱子
             printf("%c-->%c
",a , c) ;               //再直接将a柱子上的最后一个盘子移动到c
             hanoi ( n-1,  b,  a,  c ) ;                  //然后将b柱子上的n-1个盘子借助a移动到c
          }
  }
int main ()
  {  int  n ;
      printf( "Input the number of diskes:") ;
      scanf("%d",&n) ;
      hanoi ( n,  'A' ,  'B' , 'C' ) ;
      return 0;
  }