最小生成树——Prim算法

一、概述

MST（Minimum Spanning Tree，最小生成树）问题有两种通用的解法，Prim算法就是其中之一，它是从点的方面考虑构建一颗MST。

二、算法描述

大致思想：有一带权连通图G = （U，E），即图G顶点集合为U 、边集为E。①首先在集合U中任意选择一点作为起始点a，将该点加入空集V，即初始状态下，生成树只有一个顶点，没有边；②再从集合U-V中找到另一点b使得边（a，b）是所有这样（只有一个点在构造中的生成树上）形成的边中代价最小的，此时将b点也加入集合V；现在的集合V={a，b}，再从集合U-V中找到另一点c使得边（a，c）或（b，c）是所有这样（只有一个点在构造中的生成树上）形成的边中代价最小的，此时将c点加入集合V；以此类推，直至所有顶点全部被加入V，此时就构建出了一颗MST。③因为有N个顶点，所以该MST就有N - 1条边，每一次向集合V中加入一个点，就意味着找到一条MST的边。

换种说法：有一带权连通图G = （U，E），即图G顶点集合为U 、边集为E。①首先在集合U中任意选择一点作为起始点a，将该点加入空集V，即初始状态下，生成树只有一个顶点，没有边；②再从集合U-V中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小，此时将b点也加入集合V；以此类推，现在的集合V={a，b}，再从集合U-V中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小，此时将c点加入集合V，直至所有顶点全部被加入V，此时就构建出了一颗MST。③因为有N个顶点，所以该MST就有N - 1条边，每一次向集合V中加入一个点，就意味着找到一条MST的边。

为了实现Prim算法，我们需要依照思想设置一些辅助数组。

• int lowcost[v]  表示以v为终点的边（u，v）的权值，v 是当前尚未选入生成树的顶点；
• int nearest[v]  保存边（u，v）的另一个顶点u，u 在生成树上；
• bool visited[i] 标志某个顶点当前是否已被选入在生成树上。

初始设置如下：

• lowcost[v] 均为+∞；
• nearest[v] 均为起始点a。

三、代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100	
#define INF 0x7fffffff 	//INF相当于int型数据的最大值 

int matrix[N][N];		//作为图的邻接矩阵 
int lowcost[N];			//lowcost[v]表示以v为终点的边（u，v）的权值，v是当前尚未选入生成树的顶点
int nearest[N];			//nearest[v]保存边（u，v）的另一个顶点u，u在生成树上
bool visited[N];		//visited[v]标志某个顶点当前是否已被选入在生成树上
int sum;							//记录权值和 
int vertex_num,arc_num,source;		//顶点数、边数、起始点 

void prim(int source)		//起点
{
	memset(lowcost,INF,sizeof(lowcost));
	memset(visited,false,sizeof(visited));
	visited[source] = true;
	for(int i=0;i<vertex_num;i++){
			lowcost[i] = matrix[source][i];
			nearest[i] = source;	
	}
	int min_cost;						//最小权值 
	int min_cost_index;					//最小权值对应的边的未在最小生成树的那一点 
	sum = 0;
	for(int i=1;i<vertex_num;i++){			//寻找除起点以外的n-1个点 
	    min_cost = INF;
		for(int j=0;j<vertex_num;j++){
			if(visited[j]==false && lowcost[j]<min_cost){
				min_cost = lowcost[j];
				min_cost_index = j;				//定位顶点 
			}
		} 
		visited[min_cost_index] = true;			//将已进入最小代价生成树的结点标志位true 
		sum += lowcost[min_cost_index];
		for(int j=0;j<vertex_num;j++){			//以找到的最小下标为起点更新lowcost数组
			if(visited[j]==false && matrix[min_cost_index][j]<lowcost[j]){
				lowcost[j] = matrix[min_cost_index][j];
				nearest[j] = min_cost_index;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	int u,v,w;
	cout<<"请输入顶点数：";
	cin>>vertex_num;
	for (int i = 0; i < vertex_num; i++)
       	 for (int j = 0; j < vertex_num; j++)
            	matrix[i][j] = INF;
	cout<<"请输入边数：";
	cin>>arc_num;
	cout<<"请依次输入边：
";
	for(int i=0;i<arc_num;i++){
		cin>>u>>v>>w;
		matrix[u][v] = matrix[v][u] = w;
	}
	cout<<"请输入起始点：";
	cin>>source; 
	prim(source);
	cout<<"以"<<source<<"为起点的最小生成树的权和为："<<sum<<endl;
	cout<<"最小生成树各边为：
";
	for(int i=0;i<vertex_num;i++){
		if(i != source){					//source不能是边(u,v)的终点 
			cout<<nearest[i]<<"---"<<i<<endl;	//nearest[v]保存边（u，v）的另一个顶点u
		} 
	} 
	 return 0;
}

四、沙场练兵

题目一、Highways(1)

题目二、Highways(2)

2017/7/24更新题目二代码

#include<iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define N 10005
#define INF 0x7fffffff

int lowcost[N],nearest[N], matrix[N][N];
bool visited[N];
int vertex_num, sum;

void prim()
{
	memset(visited,false,sizeof(visited));
	memset(lowcost,INF,sizeof(lowcost));
	visited[1] = true;
	for(int i=1;i<=vertex_num;i++){
		lowcost[i] = matrix[1][i];
	}
	int min_cost, min_cost_index;
	for(int i=2;i<=vertex_num;i++){
		min_cost = INF;
		for(int j=1;j<=vertex_num;j++){
			if(!visited[j] && lowcost[j]<min_cost){
				min_cost = lowcost[j];
				min_cost_index = j;
			}
		}
		visited[min_cost_index] = true;
		sum = max(sum,min_cost);
		for(int j=1;j<=vertex_num;j++){
			if(!visited[j] && matrix[min_cost_index][j]<lowcost[j]){
				lowcost[j] = matrix[min_cost_index][j];
			}
		}
	}
}

int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		sum = 0;
		cin>>vertex_num;
		for(int i=1;i<=vertex_num;i++){
			for(int j=1;j<=vertex_num;j++){
				cin>>matrix[i][j];					//i到j的距离 
			}
		}
		prim();
		cout<<sum<<endl;
	}
	return 0;
}