【Kruskal算法思想】
1.将图各边按照权值进行排序。
2.将图遍历一次，找出权值最小的边，（条件：此次找出的边不能和已加入最小生成树集合的边构成环），若符合条件，则加入最小生成树的集合中。不符合条件则继续遍历图，寻找下一个最小权值的边。
3.递归重复步骤1，直到找出n-1条边为止（设图有n个结点，则最小生成树的边数应为n-1条），算法结束。得到的就是此图的最小生成树。
【Kruskal算法实现】
第一步：给所有边按照从小到大的顺序排列。
第二步：从小到大依次考察每条边(u,v)，这时会出现两种情况。
- 如果u和v在同一个连通分量中，那么加入(u,v)后会形成环，因此不能选择；
- 如果u和v在不同的连通分量，那么加入(u,v)后一定是最优的。下面给予证明。
反证法：如果不加这条边能得到一个最优解T，则T+(u,v)一定有且只有一个环，而且环中至少有一条边(u',v')的权值大于或等于边(u,v)的权值。删除该边后，得到的新树T' = T+(u,v)-(u',v')不会比T更差。因此，加入(u,v)不会比不加入差。
我的想法：边已经有序排列好了，短的可以选的情况下不选短的？？？
下面是伪代码：
把所有边排序，记第i小的边为e[i]（1<=i<m） 初始化MST为空 初始化连通分量，让每个点自成一个独立的连通分量 for(int i = 0; i < m; i++) if(e[i].u和e[i].v不在同一个连通分量){ 把边e[i]加入MST 合并e[i].u和e[i].v所在的连通分量 }
在上面的伪代码中，最关键的地方在于“连通分量的查询与合并”：需要知道任意两个点是否在同一连通分量中，还需要合并两个连通分量。
暴力解法：每次“合并”时只在MST中加入一条边（如果使用邻接矩阵，只需G[e[i].u][e[i].v]=1），而“查询”时直接在MST中进行图遍历（DFS和BFS都可以判断连通性）。遗憾的是，这个方法不仅复杂（需要写DFS或者BFS），而且效率不高。
并查集法：把每个连通分量看成一个集合，该集合包含了连通分量中的所有点（这些点两两连通，而具体的连通方式无关紧要，就好比集合中的元素没有先后顺序之分，只有“属于”和“不属于”的区别）。在图中，每个点恰好属于一个连通分量，对应到集合表示中，每个元素恰好属于一个集合。（换句话说，图的所有连通分量可以用若干个不相交集合来表示）
并查集的精妙之处在于：用树来表示集合。例如，包含点1,2,3,4,5,6的图有3个连通分量{1,3}、{2,5,6}、{4}，则需要用3棵树来表示。这3棵树的具体形态无关紧要，只要有一棵树包含1、3两个点，一棵树包含2、5、6这3个点，还有一棵树只包含4这一个点即可。规定每棵树的根结点是这棵树所对应集合的代表元。
过程：
把x的父结点保存在pre[x]中，如果x没有父结点，则pre[x] = x 。那么便可以写出“查找结点x所在树的根结点”的递归程序：
int find(int x)
{
return pre[x] == x ? x : find(pre[x]); //如果pre[x]等于x，说明x本身就是树根，故返回x；否则返回x的父结点p[x]所在树的树根。
}
需要优化的点：在特殊情况下，这棵树可能是一条长长的链。设链的最后一个结点为x，则每次执行find(x)都会遍历整条链，效率不高。
改进方法：既然每棵树表示的只是一个集合因此树的形态是无关紧要的，并不需要在“查找”操作之后保持树的形态不变，只要顺便把遍历过的结点都改成树根的子结点，下次查找就会快很多了。
于是，Kruskal算法的完整代码便水到渠成的得到：
/* Kruskal算法构造MST */ //第i条边的两个端点序号和权值分别保存在u[i],v[i]和 w[i]中 //排序后第i小的边的序号保存在r[i]中（这叫间接排序：排序的关键字是对象的“代号”，而不是对象本身） int cmp(const int i, const int j) //间接排序函数 { return w[i]<w[j]; } int find(int x) //并查集的find { return pre[x] == x ? x : pre[x] = find(pre[x]); //包含了路径压缩 } int Kruskal() { int ans = 0; for(int i = 0; i < n; i++) pre[i] = i; //初始化并查集 for(int i = 0; i < m; i++) r[i] = i; //初始化边序号 sort(r, r+m, cmp); for(int i = 0; i < n; i++){ int e = r[i]; //找出当前两个端点所在集合编号 int x = find(u[e]); int y = find(v[e]); if(x != y){ //如果在不同集合，合并 ans += w[e]; pre[x] = y; } } return ans; }
注意，x和y分别是第e条边的两个端点所在连通分量的代表元。合并x和y所在集合可以简单地写成pre[x]=y，即直接把x作为y的子结点，则两个树就合并成一棵树了，注意不能写成pre[u[e]]=pre[v[e]]，因为u[e]和v[e]不一定是树根。
并查集效率：在平摊意义下，find函数的时间复杂度几乎可以看成是常数（而union显然是常数时间）。
最后给出完整代码：
#include<iostream> #include<cstring> #include<string> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; #define MAX 1000 int father[MAX], son[MAX]; int v, l; typedef struct Kruskal //存储边的信息 { int a; int b; int value; }; bool cmp(const Kruskal & a, const Kruskal & b) { return a.value < b.value; } int unionsearch(int x) //查找根结点+路径压缩 { return x == father[x] ? x : unionsearch(father[x]); } bool join(int x, int y) //合并 { int root1, root2; root1 = unionsearch(x); root2 = unionsearch(y); if(root1 == root2) //为环 return false; else if(son[root1] >= son[root2]) { father[root2] = root1; son[root1] += son[root2]; } else { father[root1] = root2; son[root2] += son[root1]; } return true; } int main() { int ncase, ltotal, sum, flag; Kruskal edge[MAX]; scanf("%d", &ncase); while(ncase--) { scanf("%d%d", &v, &l); ltotal = 0, sum = 0, flag = 0; for(int i = 1; i <= v; ++i) //初始化 { father[i] = i; son[i] = 1; } for(int i = 1; i <= l ; ++i) { scanf("%d%d%d", &edge[i].a, &edge[i].b, &edge[i].value); } sort(edge + 1, edge + 1 + l, cmp); //按权值由小到大排序 for(int i = 1; i <= l; ++i) { if(join(edge[i].a, edge[i].b)) { ltotal++; //边数加1 sum += edge[i].value; //记录权值之和 cout<<edge[i].a<<"->"<<edge[i].b<<endl; } if(ltotal == v - 1) //最小生成树条件：边数=顶点数-1 { flag = 1; break; } } if(flag) printf("%d ", sum); else printf("data error. "); } return 0; }