最小树形图——朱刘算法

一、相关定义

定义：设G = (V,E)是一个有向图，它具有下述性质：

1. G中不包含有向环；　
2. 存在一个顶点v_i，它不是任何弧的终点，而V中的其它顶点都恰好是唯一的一条弧的终点，则称 G是以v_i为根的树形图。

最小树形图就是有向图G = (V, E)中以v_i为根的树形图中权值和最小的那一个。

另一种说法：最小树形图，就是给有向带权图一个特殊的点root，求一棵以root为根节点的树使得该树的的总权值最小。

性质：最小树形图基于贪心和缩点的思想。

缩点：将几个点看成一个点，所有连到这几个点的边都视为连到收缩点,所有从这几个点连出的边都视为从收缩点连出

二、算法描述

【概述】

为了求一个图的最小树形图，①先求出最短弧集合E₀；②如果E₀不存在，则图的最小树形图也不存在；③如果E₀存在且不具有环，则E₀就是最小树形图；④如果E₀存在但是存在有向环，则把这个环收缩成一个点u，形成新的图G₁，然后对G₁继续求其的最小树形图，直到求到图G_i，如果G_i不具有最小树形图，那么此图不存在最小树形图，如果G_i存在最小树形图，那么逐层展开，就得到了原图的最小树形图。

【实现细节】

设根结点为v_0，

• （1）求最短弧集合E₀

　　从所有以v_i(i ≠ 0)为终点的弧中取一条最短的，若对于点i，没有入边，则不存在最小树形图，算法结束；如果能取，则得到由n个点和n-1条边组成的图G的一个子图G'，这个子图的权值一定是最小的，但是不一定是一棵树。

• （2）检查E₀

　　若E₀没有有向环且不包含收缩点,则计算结束，E₀就是图G以v₀为根的最小树形图；若E₀含有有向环，则转入步骤(3)；若E₀没有有向环,但是存在收缩点，转到步骤(4)。

• （3）收缩G中的有向环

　　把G中的环C收缩成点u，对于图G中两端都属于C的边就会被收缩掉，其他弧仍然保留，得到一个新的图G1，G₁中以收缩点为终点的弧的长度要变化。变化的规则是：设点v在环C中，且环中指向v的边的权值为w，点v'不在环C中，则对于G中的每一条边<v', v>，在G₁中有边<v', u>和其对应，且权值W_G1(<v', u>) = W_G(<v', v>) - w；对于图G中以环C中的点为起点的边<v', v>，在图G₁中有边<u, v'>，则W_G1(<u, v'>) = W_G(<v', v>)。有一点需要注意,在这里生成的图G₁可能存在重边。

　　对于图G和G_1：

　　①如果图G₁中没有以v₀为根的最小树形图，则图G也没有；

　　②如果G₁中有一v₀为根的最小树形图，则可按照步骤（4）的展开方法得到图G的最小树形图。

所以，应该对于图G₁代到(1)中反复求其最小树形图，直到G₁的最小树形图u求出。

• （4）展开收缩点

　　假设图G₁的最小树形图为T₁,那么T₁中所有的弧都属于图G的最小树形图T。将G₁的一个收缩点u展开成环C，从C中去掉与T₁具有相同终点的弧，其他弧都属于T。

【小结】

对最小树形图做个小小的总结：

1：清除自环，自环是不可能存在于任何最小树形图中的；

2：求出每个顶点的的最小入边；

3：判断该图是否存在最小树形图，由 1 可以判定，或者以图中顶点v作为根节点遍历该图就能判断是否存在最小树形图；

4：找环，之后建立新图，缩点后重新标记。

【图示——最小树形图构造流程】

解读：第一幅图为原始图G，首先对于图G求其最短弧集合E_0，即第二幅图G_1；然后检查E₀是满足条件，在这里，可以看到G₁具有两个环，那么把这两个环收缩，如第三幅图所示，U1、U2分别为收缩后的点，然后将对应的权值进行更新，起点是环中的点，终点是环外的点，则权值不变。反之，起点是环外的点，终点是环内的点，则权值应该减去E₀中指向环内点的权值，形成新的图，如第三幅图，对于其反复求最小树形图，直到不存在最小树形图，或者求得缩点后的图的最小树形图，然后展开就好了，如第六幅图。

如果只要求计算权值的话，则不需要展开，所有环中权值的和加上其他各个点与点之间，或者收缩点和点之间的权值就是总的权值。

三、沙场练兵

题目：hdu 2121 Ice_cream’s world II

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 1005
#define INF 0x7f7f7f7f
typedef __int64 type;
struct node//边的权和顶点
{
    int u, v;
    type w;
}edge[MAXN * MAXN];
int pre[MAXN], id[MAXN], vis[MAXN], n, m, pos;
type in[MAXN];//存最小入边权,pre[v]为该边的起点
type Directed_MST(int root, int V, int E)
{
    type ret = 0;//存最小树形图总权值
    while(true)
    {
		int i;
		//1.找每个节点的最小入边
        for( i = 0; i < V; i++)
            in[i] = INF;//初始化为无穷大
        for( i = 0; i < E; i++)//遍历每条边
        {
            int u = edge[i].u;
            int v = edge[i].v;
            if(edge[i].w < in[v] && u != v)//说明顶点v有条权值较小的入边  记录之
            {
                pre[v] = u;//节点u指向v
                in[v] = edge[i].w;//最小入边
                if(u == root)//这个点就是实际的起点
					pos = i;
            }
        }
        for( i = 0; i < V; i++)//判断是否存在最小树形图
        {
            if(i == root)
				continue;
            if(in[i] == INF) 
				return -1;//除了根以外有点没有入边,则根无法到达它  说明它是独立的点 一定不能构成树形图
        }
        //2.找环
        int cnt = 0;//记录环数
        memset(id, -1, sizeof(id));
        memset(vis, -1, sizeof(vis));
        in[root] = 0;
        for( i = 0; i < V; i++) //标记每个环
        {
            ret += in[i];//记录权值
            int v = i;
            while(vis[v] != i && id[v] == -1 && v != root)
            {
                vis[v] = i;
                v = pre[v];
            }
            if(v != root && id[v] == -1)
            {
                for(int u = pre[v]; u != v; u = pre[u])
                    id[u] = cnt;//标记节点u为第几个环
                id[v] = cnt++;
            }
        }
        if(cnt == 0)
			break; //无环   则break
        for( i = 0; i < V; i++)
            if(id[i] == -1)
				id[i] = cnt++;
			//3.建立新图   缩点,重新标记 
			for( i = 0; i < E; i++)
			{
				int u = edge[i].u;
				int v = edge[i].v;
				edge[i].u = id[u];
				edge[i].v = id[v];
				if(id[u] != id[v])
					edge[i].w -= in[v];
			}
			V = cnt;
			root = id[root];
    }
    return ret;
}
int main()
{
	int i;
    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
    {
        type sum = 0;
        for( i = 0; i < m; i++)
        {
            scanf("%d%d%I64d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].w);
            edge[i].u++; edge[i].v++;
            sum += edge[i].w;
        }
      sum ++;
        for( i = m; i < m + n; i++)//增加超级节点0,节点0到其余各个节点的边权相同（此题中 边权要大于原图的总边权值）
        {
            edge[i].u = 0;
            edge[i].v = i - m + 1;
            edge[i].w = sum;
        }
        type ans = Directed_MST(0, n + 1, m + n);
        //n+1为总结点数,m+n为总边数
		//ans代表以超级节点0为根的最小树形图的总权值,
		//将ans减去sum,如果差值小于sum,说明节点0的出度只有1,说明原图是连通图
		//如果差值>=sum,那么说明节点0的出度不止为1,说明原图不是连通图
        if(ans == -1 || ans - sum >= sum)
			puts("impossible");
        else
			printf("%I64d %d
",ans - sum, pos - m);
        puts("");
    }
    return 0;
}