数据结构1——树状数组

一、相关定义

树状数组

•  获取数组中连续n个数的和
• 修改数组中某点的值
• 时间复杂度：O（logn）

小结：树状数组的强项在于对数组进行维护查询（如，修改某点的值、求某个区间的和）。当然，数据规模不大的时候，对于修改某点的值是非常容易的，复杂度是O(1)，但是对于求一个区间的和就要扫一遍了，复杂度是O(N)，如果实时的对数组进行M次修改或求和，最坏的情况下复杂度是O(M*N)，当规模增大后这是划不来的！而树状数组干同样的事复杂度却是O(M*logN)。

二、算法描述

列出即将出现的知识定义：

• lowbit(k)：把k的二进制的高位1全部清空，只留下最低位的1（即只能剩下一个相对位数最低的1）
• 求解lowbit(k)：lowbit(k)=k&-k
• lowbit(k)的作用：联系数组a和数组c
• c_k：从a_k开始（包括a_k）往左连续求lowbit(k)个数的和
• 去尾：把尾部应该去掉的1都去掉转而换到更高位的1,记住每次变换都要有一个高位的1产生
• 去尾实现：k += lowbit(k)

配图如下（左边为图A，右边为图B）：

【建立关系】

　　图A是不是很像一颗树？对，这就是为什么叫树状数组了。A图中，a数组就是我们要维护和查询的数组，但是其实我们整个过程中根本用不到a数组，你可以把它当作一个摆设！c数组才是我们全程关心和操纵的重心。先由图来看看c数组的规则，其中c8=c4+c6+c7+a8，c6=c5+a6……先不必纠结怎么做到的，我们只要知道c数组的大致规则即可，很容易知道c8表示a1～a8的和，但是c6却是表示a5～a6的和，为什么会产生这样的区别的呢？或者说发明它的人为什么这样区别对待呢？答案是，这样会使操作更简单！看到这相信有些人就有些感觉了，为什么复杂度被log了呢？可以看到，c8可以看作a1～a8的左半边和+右半边和，而其中左半边和是确定的c4，右半边其实也是同样的规则把a5～a8一分为二……继续下去都是一分为二直到不能分，可以看看B图。怎么样？是不是有点二分的味道了？对，说白了树状数组就是巧妙的利用了二分，它并不神秘，关键是它的巧妙！

       它又是怎样做到不断的一分为二呢？说这个之前我先说个叫lowbit的东西，lowbit(k)就是把k的二进制的高位1全部清空，只留下最低位的1，比如10的二进制是1010,则lowbit(10)=lowbit(1010)=(0010)₂ 。介于这个lowbit在下面会经常用到，这里给一个非常方便的实现方式，比较普遍的方法lowbit(k)=k&-k，这是位运算，我们知道一个数加一个负号是把这个数的二进制取反+1，如-10的二进制就是-1010=0101+1=0110，然后用1010&0110，答案就是0010了！明白了求解lowbit的方法就可以了，继续下面。介于下面讨论十进制已经没有意义（这个世界本来就是二进制的，人非要主观的构建一个十进制），下面所有的数没有特别说明都当作二进制。

       上面那么多文字说lowbit，还没说它的用处呢，它就是为了联系a数组和c数组的！c_k表示从a_k开始往左连续求lowbit(k)个数的和。比如c[0110]=a[0110]+a[0101]，就是从0110开始（包括0110）往左计算了lowbit(0110)个数的和，（因为lowbit(0110)=0010）即从0110开始（包括0110）往左计算了0010（也就是2）个数的和，这0010个数分别为a[0110]与a[0101]。因为lowbit(0110)=0010，可以看到其实只有低位的1起作用，因为很显然可以写出c[0010]=a[0010]+a[0001]，这就为什么我们任何数都只关心它的lowbit，因为高位不起作用（基于我们的二分规则它必须如此！），除非除了高位其余位都是0，这时本身就是lowbit。

【更新位置数据】

　　既然关系建立好了，看看如何实现a某一个位置数据更改的，它不会直接改的（开始就说了，a根本不存在），它每次改其实都要维护c数组应有的性质，因为后面求和要用到。而维护也很简单，比如更改了a[0011]，我们接着要修改c[0011],c[0100],c[1000]，这是很容易从图上看出来的，但是你可能会问，他们之间有什么必然联系吗？每次求解总不能总要拿图来看吧？其实从0011——>0100——>1000的变化都是进行“去尾”操作，就是把尾部应该去掉的1都去掉、转而换到更高位的1，记住每次变换都要有一个高位的1产生，所以0100是不能变换到0101的，因为没有新的高位1产生，这个变换过程恰好是可以借助我们的lowbit进行的，k += lowbit(k)。

       好吧，现在更新的次序都有了，可能又会产生新的疑问了：为什么它非要是这种关系啊？这就要追究到之前我们说c8可以看作a1～a8的左半边和+右半边和……的内容了，为什么c[0011]会影响到c[0100]而不会影响到c[0101]，这就是之前说的c[0100]的求解实际上是这样分段的区间 c[0001]~c[0001] 和区间c[0011]~c[0011]的和，数字太小，可能这样不太理解，在比如c[0100]会影响c[1000]，为什么呢？因为c[1000]可以看作0001～0100的和加上0101~1000的和，但是0101位置的数变化并会直接作用于c[1000]，因为它的尾部1不能一下在跳两级在产生两次高位1,是通过c[0110]间接影响的，但是，c[0100]却可以跳一级产生一次高位1。

         可能上面说的你比较绕了，那么此时你只需注意：c的构成性质（其实是分组性质）决定了c[0011]只会直接影响c[0100]，而c[0100]只会直接影响[1000]，而下表之间的关系恰好是也必须是k +=lowbit(k)。

此时我们就是写出更新维护树的代码：

void add(int k,int num)
{
	while(k<=n)
	{
		tree[k]+=num;
		k += k&-k;　　　　//k&-k 就是lowbit(k)
	}
}

有了上面的基础，说求和就比较简单了。

比如求0001～0110的和就直接c[0100]+c[0110]，分析方法与上面的恰好逆过来，而且写法也是逆过来的，具体就不赘述了：

int read(int k)　　//1~k的区间和
{
	int sum=0;
	while(k)
	{
		sum += tree[k];
		k -= k&-k;
	}
	return sum;
}

三、博客小结

1. 树状数组说白了是按照二分对数组进行分组；
2. 维护和查询都是O(logn)的复杂度；
3. lowbit这里只是一个技巧，关键在于明白c数组的构成规律；
4. 分析的过程二进制一定要深入人心，当作心目中的十进制