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  • 数论3——gcd&&lcm

    gcd(a, b),就是求a和b的最大公约数

    lcm(a, b),就是求a和b的最小公倍数

    然后有个公式

    a*b = gcd * lcm     ( gcd就是gcd(a, b), ( •̀∀•́ ) 简写你懂吗)

    解释(不想看就跳过){

      首先,求一个gcd,然后。。。

      a / gcd 和 b / gcd 这两个数互质了,也就是 gcd(   a / gcd ,b / gcd  )  =  1,然后。。。

      lcm = gcd *  (a / gcd) * (b / gcd)

      lcm = (a * b) / gcd

      所以。。a*b = gcd * lcm

    }

    所以要求lcm,先求gcd

    辣么,问题来了,gcd怎么求

    辗转相除法

    while循环

    LL gcd(LL a, LL b){
        LL t;
        while(b){
            t = b;
            b = a % b;
            a = t;
        }
        return a;
    }
    

    还有一个递归写法

    LL gcd(LL a, LL b){
        if(b == 0) return a;
        else return gcd(b, a%b);
    }
    
    LL gcd(LL a, LL b){
        return b ? gcd(b, a%b) : a;
    }
    //两种都可以
    

    辣么,lcm = a * b / gcd

    (注意,这样写法有可能会错,因为a * b可能因为太大  超出int  或者 超出 longlong)

    所以推荐写成 : lcm = a / gcd * b

    然后几个公式自己证明一下

    gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b)

    lcm(ka, kb) = k * lcm(a, b)

    上次做题碰到这个公式

    lcm(S/a, S/b) = S/gcd(a, b)

    S = 9,a = 4,b = 6,小数不会lcm,只好保留分数形式去通分约分。

    当我看到右边那个公式。。。。

    (╯°Д°)╯┻━┻

    这TM我怎么想的到,给我证明倒是会证。 T_T

    【附录】

    这里给出使用欧几里得算法求最大公约数的递归和非递归的程序,同时给出穷举法求最大公约数的程序。

    从计算时间上看,递推法计算速度最快。

    程序中包含条件编译语句用于统计分析计算复杂度。

    /*
     * 计算两个数的最大公约数三种算法程序
     */
    
    #include <stdio.h>
    
    //#define DEBUG
    #ifdef DEBUG
    int c1=0, c2=0, c3=0;
    #endif
    
    int gcd1(int, int);
    int gcd2(int, int);
    int gcd3(int, int);
    
    int main(void)
    {
        int m=42, n=140;
    
        printf("gcd1: %d %d result=%d
    ", m, n, gcd1(m, n));
        printf("gcd2: %d %d result=%d
    ", m, n, gcd2(m, n));
        printf("gcd3: %d %d result=%d
    ", m, n, gcd3(m, n));
    #ifdef DEBUG
        printf("c1=%d  c2=%d  c3=%d
    ", c1, c2, c3);
    #endif
    
        return 0;
    }
    
    /* 递归法:欧几里得算法,计算最大公约数 */
    int gcd1(int m, int n)
    {
    #ifdef DEBUG
        c1++;
    #endif
        return (m==0)?n:gcd1(n%m, m);
    }
    
    /* 迭代法(递推法):欧几里得算法,计算最大公约数 */
    int gcd2(int m, int n)
    {
        while(m>0)
        {
    #ifdef DEBUG
        c2++;
    #endif
            int c = n % m;
            n = m;
            m = c;
        }
        return n;
    }
    
    /* 连续整数试探算法,计算最大公约数 */
    int gcd3(int m, int n)
    {
        if(m>n) {
            int temp = m;
            m = n;
            n = temp;
        }
        int t = m;
        while(m%t || n%t)
        {
    #ifdef DEBUG
        c3++;
    #endif
            t--;
        }
        return t;
    }
    View Code

    关键代码(正解):

    /* 迭代法(递推法):欧几里得算法,计算最大公约数 */
    int gcd(int m, int n)
    {
        while(m>0)
        {
            int c = n % m;
            n = m;
            m = c;
        }
        return n;
    }
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