数论10——中国剩余定理

公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三 ，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。

就是说，有一个东西不知道有多少个，但是它求余3等于2，求余5等于3，求余7等于2，问这个东西有多少个？”答为“23”。

用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组 (S)有解

能求解什么问题呢？

问题：

一堆物品

3个3个分剩2个

5个5个分剩3个

7个7个分剩2个

问这个物品有多少个

解这题，我们需要构造一个答案

我们需要构造这个答案

5*7*inv(5*7,  3) % 3  =  1

3*7*inv(3*7,  5) % 5  =  1

3*5*inv(3*5,  7) % 7  =  1

这3个式子对不对，别告诉我逆元你忘了(*´∇｀*)，忘了的人请翻阅前几章复习

然后两边同乘你需要的数

2 * 5*7*inv(5*7,  3) % 3  =  2

3 * 3*7*inv(3*7,  5) % 5  =  3

2 * 3*5*inv(3*5,  7) % 7  =  2

令 

a = 2 * 5*7*inv(5*7,  3) 

b = 3 * 3*7*inv(3*7,  5) 

c = 2 * 3*5*inv(3*5,  7) 

那么

a % 3 = 2

b % 5 = 3

c % 7 = 2

其实答案就是a+b+c

因为

a%5 = a%7 = 0 因为a是5的倍数，也是7的倍数

b%3 = b%7 = 0 因为b是3的倍数，也是7的倍数

c%3 = c%5 = 0 因为c是3的倍数，也是5的倍数

所以

(a + b + c) % 3 = (a % 3) + (b % 3) + (c % 3) = 2 + 0 + 0 = 2

(a + b + c) % 5 = (a % 5) + (b % 5) + (c % 5) = 0 + 3 + 0 = 3

(a + b + c) % 7 = (a % 7) + (b % 7) + (c % 7) = 0 + 0 + 2 = 2

你看你看，答案是不是a+b+c(｡･ω･)ﾉﾞ，完全满足题意

但是答案，不只一个，有无穷个，每105个就是一个答案（105 = 3 * 5 * 7）

根据计算，答案等于233,233%105 = 23

如果题目问你最小的那个答案，那就是23了

以下抄自百度百科

中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

 

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，

 方程组(S)

有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设

 

是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设

 

是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。

设

 

这个就是逆元了

  

通解形式为

  

在模M的意义下，方程组(S)只有一个解：

 

 

 

我知道你们只要代码(*ﾟ▽ﾟ*)，抛代码，1,2,3，我抛

//n个方程：x=a[i](mod m[i]) (0<=i<n)
LL china(int n, LL *a, LL *m){
    LL M = 1, ret = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++) M *= m[i];
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        LL w = M / m[i];
        ret = (ret + w * inv(w, m[i]) * a[i]) % M;
    }
    return (ret + M) % M;
}

要不要来一道题试试手？

poj 1006

http://poj.org/problem?id=1006

问题描述：

     人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。

分析：

因为23 = 23

28 = 2*2*7

33 = 3*11

满足两两互质关系，所以直接套模板就好了

AC代码：

#include<cstdio>
typedef long long LL;
const int N = 100000 + 5;
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
    if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else{
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}
LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1 
    LL d, x, y;
    ex_gcd(t, p, x, y, d);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}
LL china(int n, LL *a, LL *m){//中国剩余定理 
    LL M = 1, ret = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++) M *= m[i];
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        LL w = M / m[i];
        ret = (ret + w * inv(w, m[i]) * a[i]) % M;
    }
    return (ret + M) % M;
}
int main(){
    LL p[3], r[3], d, ans, MOD = 21252;
    int cas = 0;
    p[0] = 23; p[1] = 28; p[2] = 33;
    while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d", &r[0], &r[1], &r[2], &d) && (~r[0] || ~r[1] || ~r[2] || ~d)){
        ans = ((china(3, r, p) - d) % MOD + MOD) % MOD;
        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %I64d days.
", ++cas, ans ? ans : 21252);
    }
    
}

当然，这个中国剩余定理只是基础，面对更强大的敌人，我们要有更强的武器

比如，m1,m2, ... ,mn两两不保证互质，辣怎么办(っ °Д °)っ

别怕，看我接着抛代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PLL;
PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n) {//求解A[i]x = B[i] (mod M[i]),总共n个线性方程组 
    LL x = 0, m = 1;
    for(int i = 0; i < n; i ++) {
        LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = gcd(M[i], a);
        if(b % d != 0)  return PLL(0, -1);//答案不存在，返回-1 
        LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d);
        x = x + m*t;
        m *= M[i]/d;
    }
    x = (x % m + m ) % m;
    return PLL(x, m);//返回的x就是答案，m是最后的lcm值 
}

这个代码我不给予解释（因为我不会，哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯）

遇到需要的题就去套模板吧

（想知道代码原理的去百度吧，或者看《挑战程序设计竞赛》，我模板是从书里抄来经过杰哥修改的）

比如poj 2891

http://poj.org/problem?id=2891

【题目大意】

给出k个模方程组：x mod ai = ri。求x的最小正值。如果不存在这样的x，那么输出-1.

【题目分析】

由于这道题目里面的ai、ri之间不满足两两互质的性质，所以不能用中国剩余定理直接求解。

辣么。。。。愉快的套这个模板吧

AC代码如下:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PLL;
LL a[100000], b[100000], m[100000];
LL gcd(LL a, LL b){
    return b ? gcd(b, a%b) : a;
}
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
    if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else{
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}
LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1 
    LL d, x, y;
    ex_gcd(t, p, x, y, d);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}
PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n) {//求解A[i]x = B[i] (mod M[i]),总共n个线性方程组 
    LL x = 0, m = 1;
    for(int i = 0; i < n; i ++) {
        LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = gcd(M[i], a);
        if(b % d != 0)  return PLL(0, -1);//答案，不存在，返回-1 
        LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d);
        x = x + m*t;
        m *= M[i]/d;
    }
    x = (x % m + m ) % m;
    return PLL(x, m);//返回的x就是答案，m是最后的lcm值 
}
int main(){
    int n;
    while(scanf("%d", &n) != EOF){
        for(int i = 0; i < n; i ++){
            a[i] = 1;
            scanf("%d%d", &m[i], &b[i]);
        }
        PLL ans = linear(a, b, m, n);
        if(ans.second == -1) printf("-1
");
        else printf("%I64d
", ans.first);
    }
}

你看，全TM是套路

哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯

哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯

哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯

哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯