二分查找

刚进ACM集训队，天天刷题，然后好多题解都有二分两个字，哎呀我天！！我那个无助。还好，今天碰到了，不把你吃透，算我输！！！

学习二分不在于表面的题目，而在于理解二分的思想。

二分查找往往用在一些抽象的场合，没有数组A，也没有要查找的v，但是二分的思想仍然适用。

我们来一个实际的问题：现有一个由10⁶个数组成的数组A，现在给你一个数，比如12345，让你判断它是否在数组A中。

解法一：遍历数组A，逐个比较。

弊端：此解法对于“单次询问”来说运行得很好，但如果需要找10⁵个数，即进行10⁵次询问，那么就需要把整个数组A遍历10⁵次。

解法二：先将数组A排序，再逐个比较。

优点：？？？此刻的我还真看不出。。。

在有序表中查找元素常常使用二分查找。

二分查找的基础是：数组有序。

二分查找的基本思路：每次将范围缩小一半，直到找到目标。

举例：饭桌上常玩的“猜数字游戏”，你在心里想一个不超过1000的正整数，我可以保证在10次之内找到它——只要你每次告诉我猜的数比你想的大一些、小一些，或者正好猜中。猜的方法就是“二分”。首先我猜500，除了运气特别好正好猜中之外， 不管你说“太大”还是“太小”，我都能把可行范围缩小一半：如果“太大”，那么答案在1~499之间；如果“太小”，那么答案在501~1000之间。只要每次选择可行区间的中点去猜，每次都可以把范围缩小一半。由于log₂1000<10,10次一定能猜到。

逐步缩小范围法是一种常见的思维方法。二分查找便是基于这种思路，它遵循分治三步法，把原序列划分成元素个数尽量接近的两个子序列，然后递归查找。

二分查找只适用于有序序列，时间复杂度为O（logn）。

二分查找一般写成非递归形式。

代码：二分查找（迭代实现）

int bsearch(int *A, int l, int r, int v)
{
	int mid;
	while(l < r){
		mid = l+(r-l)/2;
		if(A[mid] == v)	return mid;
		else if(A[mid] > v)	r = mid;
		else	l = mid+1;
	}
	return -1;
}

二分查找往往用在一些抽象的场合，没有数组A，也没有要查找的v，但是二分的思想仍然适用。

算法学了有些天了，若是就这么结束二分，我觉得这就不是一个算法了。

我们在提一个问题：如果数组A中有多个元素都是v，上面的函数返回的是哪一个的下标呢？第一个？最后一个？都不是。不难看出，如果所有元素都是要找的，它返回的是中间那一个。有时，这样的结果并不是很理想，能不能求出值等于v的完整区间呢（由于已经排好序，相等的值会排在一起）？

下面我们编写一个这样的程序：当v存在时返回它出现的第一个位置。如果不存在，返回这样一个下标 i：在此处插入v（原来的元素A[i],A[i+1],...全部往后移动一个位置）后序列仍然有序。

int lower_bound(int *A, int l, int r, int v)
{
	int mid;
	while(l < r){
		mid = l+(r-l)/2;
		if(A[mid] >= v)	r = mid;
		else	l = mid+1;
	}
	return l;
}

最后的返回值不仅可能是l,l+1,l+2,...,r-1，还可能是r——如果v大于A[r-1]（这时只能插入这里了）。这样，尽管查找区间是左闭右开区间[l,r)，返回值的候选区间却是闭区间[l,r]。

A[mid]和v的3种关系带来的影响如下：

• A[mid] = v：至少已经找到一个，而左边可能还有，因此区间变为[l,mid]；
• A[mid] > v：所求位置不可能在后面，但有可能是mid，因此区间变为[l,mid]；
• A[mid] < v：m和前面都不可行，因此区间变为[m+1,r]。

整理合并一下，有：

1. A[mid] >= v：新区间为[l,mid]；
2. A[mid] < v：新区间为[mid+1,r] 。

注意：这里有一个潜在危险，如果[l,mid]或者[mid+1,r]和原区间[l,r]相同，将发生死循环！幸运的是，这样的情况并不会发生！！！（思考原因）

类似地，我们也可以写一个upper_bound程序，当v存在时返回它出现的最后一个位置的后面一个位置。如果不存在，返回这样一个下标 i：在此处插入v（原来的元素A[i],A[i+1],...全部往后移动一个位置）后序列仍然有序。不难得出，只需把 “if(A[mid]>=v) r=mid; else l=mid+1;” 改成 “if(A[mid]<=v) l=mid+1; else r=mid;” 即可。

这样，对二分查找的讨论就比较完整了：设lower_bound和upper_bound的返回值分别为L和R，则v出现的子序列为[L,R) 。这个结论当v不在时也成立：此时L=R，区间为空。

用“上下界”函数求解范围统计问题的技巧非常有用，特别要用心体会左闭右开区间的使用方法和上下界函数的实现细节。