Min25筛
我是沙雕。。。
从yyb博客蒯的
要求：(sum_{i=1}^nF(x))
(F(x))是积性函数。
(Min25)筛能用的前提：质数处的(f(p))值是关于(p)的多项式，质数次方处的(f(p^e))值 可以快速计算。
预处理
设完全积性函数(F'(x))，在质数处取值(F(p)=F'(p))。
预处理一个(g)函数。(g(n,j)=sum_{i=1}^nF'(i)[iinmathbb{P} ext{ or }min_{p|i}p>P_j])
也就是(i)是质数或者(i)最小值因子(>P_j)的贡献（注意求的是(F')）
转移：
(g(n,j)=egin{cases}g(n,j-1) (P_j^2>n)\g(n,j-1)-F'(P_j)[g(frac{n}{P_j},j-1)-g(P_{j-1},j-1)](P_jleq n)end{cases})
考虑(g(n,j-1)-g(n,j))。如果(P_j^2>n)显然没有多余贡献。
否则会多余的一定是(P_j)的倍数，那么因为(F')是完全积性函数，可以将多余的数全部除以(P_j)，并乘上贡献(F'(P_j))。那么减掉的是(F'(P_j))乘【(frac{n}{P_j})以内最小质因数(geq P_j)的数的贡献和】。这个值就是(g(frac{n}{P_j},j-1)-g(P_{j-1},j-1))。前面多算了(<P_j)的质数，后面减掉了这一部分。
可以看出只有(sqrt n)内的质数有用，线性筛到(sqrt n)就行了。
后面的(g(P_{j-1},j-1))按照定义等于(sum_{i=1}^{P_{j-1}}F'(i))。线性筛时预处理一下就行了。
这个(g)后面只用了质数处的(F')，所以是对的而且很妙
求值
设(S(n,j)=sum_{i=1}^nF(i)[min_{p|i}p>P_j])，即最小质因数大于(P_j)的所有数的(F)和，那么要求的答案是(S(n,0))。
(S)的递推式为：(S(n,j)=g(n,|P|)-sum_{i=1}^{j-1}f(P_i)+sum_{p_k^eleq n,k>j}F(p_k^e)(S(frac{n}{p_k^e},k)+[e>1]))
前面部分是质数的贡献，后面是合数的
后面的(sum)意思就是枚举合数最小的质因子及次数，因为是积性函数可以直接乘起来。([e>1])意思是如果(e>1)那么有一个(p_k^e)没算进答案（(S)不计算(1)的贡献，但(e=1)时(p_k^e)就是质数已经在前面算过了），要算进答案。
代码
一些细节：
- (n)一直整除一个数之后还是(n)整除一个数，也就是只需要用到所有(frac ni)。开两个数组(a1,a2)，对于(sqrt n)的向(a1)存，下标为(frac ni)，否则向(a2)存，下标为(i)。两个数组都是(sqrt n)的。
- 由于(S)没有算(1)，最后还要加上(1)的贡献。
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define vd void
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
il ll gi(){
ll x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=getchar();
while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return f?x:-x;
}
ll n;
int qt;
int pr[100010],yes[100010],cnt,gp1[100010],gp2[100010];
ll w[200010],sw;
int g1[200010],g2[200010];
int id1[100010],id2[100010];
il int S(ll x,int y){
if(pr[y]>=x)return 0;
int p=x<=qt?id1[x]:id2[n/x];
int ret=((0ll+g2[p]-g1[p]-(gp2[y]-gp1[y]))%mod+mod)%mod;
for(int i=y+1;i<=cnt&&1ll*pr[i]*pr[i]<=x;++i){
ll pe=pr[i];
for(int e=1;pe<=x;++e,pe*=pr[i]){
int o=pe%mod;
ret=(ret+1ll*o*(o-1)%mod*(S(x/pe,i)+(e!=1)))%mod;
}
}
return ret;
}
int main(){
#ifdef XZZSB
freopen("in.in","r",stdin);
freopen("out.out","w",stdout);
#endif
n=gi();qt=sqrt(n);
yes[1]=1;
for(int i=2;i<=qt;++i){
if(!yes[i])pr[++cnt]=i;
for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<=qt;++j){
yes[i*pr[j]]=1;
if(i%pr[j]==0)break;
}
}
for(int i=1;i<=cnt;++i)gp1[i]=(gp1[i-1]+pr[i])%mod,gp2[i]=(gp2[i-1]+1ll*pr[i]*pr[i])%mod;//递推时用的质数处F前缀和
for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){//预处理(n/i) & 计算g的j=0边界，边界就是F'的前缀和，由于质数处F(p)是多项式所以可以快速算
r=n/(n/l);w[++sw]=n/r;
g1[sw]=w[sw]%mod;
g2[sw]=(1ll*g1[sw]*(g1[sw]+1)%mod*(g1[sw]*2+1)%mod*166666668%mod-1)%mod;//1..w[sw]平方和
g1[sw]=(1ll*g1[sw]*(g1[sw]+1)%mod*500000004-1)%mod;//1..w[sw]等差数列和
if(n/r<=qt)id1[n/r]=sw;else id2[r]=sw;
}
//j从1到|P|递推g
for(int i=1;i<=cnt;++i){
ll sqr_pi=1ll*pr[i]*pr[i];
for(int j=1;j<=sw&&sqr_pi<=w[j];++j){
ll p=w[j]/pr[i];
p=(p<=qt?id1[p]:id2[n/p]);//定位p的坐标
g1[j]=(g1[j]-1ll*pr[i]*(g1[p]-gp1[i-1]+mod)%mod+mod)%mod;
g2[j]=(g2[j]-1ll*pr[i]*pr[i]%mod*(g2[p]-gp2[i-1]+mod)%mod+mod)%mod;
}
}
printf("%d
",(S(n,0)+1)%mod);
return 0;
}