数论知识总结-欧拉函数
NOIP爆零の辣鸡第一次学数论,啃腚有错误。。。所以这篇博客很可能是错的。。。墙裂推荐这个
定义
定义:小于等于n且与n互质的数的个数。
(phi(n)=sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1])
求法
求法1:只求(phi(n))
从(1)到(sqrt{n})枚举质因子。(我也不知道为什么是对的额饿哦呃俄鹅娥厄鄂讹蛾
好像是先分解(n=p_1^{k_1} p_2^{k_2} ... p_q^{k_q}),(phi(n)=n imes(1-frac{1}{p_1})(1-frac{1}{p_2})...(1-frac{1}{p_q}))
然后变一下(phi(n)=n imesprod_{k|n}{frac{k-1}{k}})
(O(sqrt{n}))
int euler(int n){
int ret=n,m=n;
for(rg int i=2;i*i<=m;++i){
if(m%i==0)ret=ret/i*(i-1);
while(m%i==0)m/=i;
}
if(m>1)ret=ret/m*(m-1);//n最多有一个大于sqrt(n)的质因子(又一句废话
return ret;)
}
求法2:求(phi(2),phi(3),phi(4),...,phi(n))
需要枚举每一个质数的贡献。
所以一边筛质数一边求(phi)。
几乎是线性的。(O(nloglog n))
for(int i=2;i<=n;++i)phi[i]=i;
for(int i=2;i<=n;++i)
if(phi[i]==i)for(rg int j=i;j<=n;j+=i)phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
一些性质
- 若(p)为质数:(phi(n)=n-1),(phi(p^{k})=(p-1) imes p^{k-1})
- (sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1] imes i(小于等于n且与n互质的数之和)=sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1] imes (n-i)=frac{phi(n) imes n}{2})
- 欧拉函数是
鸡积性函数(积性函数是啥。。。 - (phi(n))都是偶数(除了(n=2)的情况)
- (sum_{d|n}phi(d)=n)
- (n)为奇数时,(phi(2n)=phi(n))
一些证明
- (phi(n)=n-1):显然。
(phi(p^{k})=(p-1) imes p^{k-1}):根据(phi(n)=n imes(1-frac{1}{p_1})(1-frac{1}{p_2})...(1-frac{1}{p_q})),此时(q=1,p_1=p),(phi(n)=n imesfrac{p-1}{p}=(p-1) imes p^{k-1}) - 第一个等号:
需要证明,(如果gcd(i,n)=1,1<=i<=n,则gcd(i,n-i)=1)
很容易啊。。。反证就是了
(如果gcd(i,n)=1,1<=i<=n,gcd(i,n-i)>1)
设(i=kx,n-i=ky [gcd(x,y)=1,k>1]),则(n=k(x+y)),显然GG
还要证明,(如果gcd(i,n)>1,1<=i<=n,则gcd(i,n-i)>1)
反证就是了,不写了。
第二个等号:
既然证完了第一个等号那就把他俩加起来
(sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1] imes i+sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1] imes (n-i)=sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1] imes n=phi(n) imes n)
emmmm证毕,除个2就行了 - QAQ
- 根据2推一推
- 某博客里说要用到莫比乌斯反演。。。
- 将(n)和(2n)分别代进(phi(n)=n imes(1-frac{1}{p_1})(1-frac{1}{p_2})...(1-frac{1}{p_q}))即可。
一些例板子题
嗯,基本是看题解写的。
HDU2588
(gcd(i,n)>=m,1<=i<=n),求(i)的个数。
首先设(n=kx,i=ky(x,y互质,显然x>=y))
(gcd(i,n)=k),我们需要求(k>=m)的个数。枚举这个k。
枚举k之后,x就确定了,y要满足(x,y互质且y<=x),显然y的个数为(phi(x))。
然后依然是(O(n))。。。
可以折半枚举。点开上面那个博客去看吧。。。
// It is made by XZZ
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define il inline
#define rg register
#define vd void
#define sta static
typedef long long ll;
il int gi(){
rg int x=0,f=1;rg char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
il int euler(int n){
int ret=n,m=n;
for(rg int i=2;i*i<=m;++i){
if(m%i==0)ret=ret/i*(i-1);
while(m%i==0)m/=i;
}
if(m>1)ret=ret/m*(m-1);
return ret;
}
int main(){
#ifdef xzz
freopen("in.in","r",stdin);
freopen("out.out","w",stdout);
#endif
int T=gi(),n,m,ans;
while(T--){
n=gi(),m=gi();ans=0;
for(rg int s=1;s*s<=n;++s)
if(n%s==0){
if(s>=m)ans+=euler(n/s);
if(n/s>=m&&s*s!=n)ans+=euler(s);
}
printf("%d
",ans);
}
return 0;
}
HDU 3501
嗯,见上面性质2及证明2
HDU 1286
嗯,见上面求法2
HDU 233333333
没了。
BZOJ2818
首先假装(x>=y)。
设(gcd(x,y)=k),则(x=ak,y=bk(a,b互质,且a>=b))
枚举质数k,算出(1<=x<=lfloor n/k floor)
// It is made by XZZ
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define il inline
#define rg register
#define vd void
#define sta static
typedef long long ll;
il int gi(){
rg int x=0,f=1;rg char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
ll phi[10000001];
bool isprime[10000001];
int main(){
int n=gi();
for(rg int i=1;i<=n;++i)phi[i]=i;
for(rg int i=2;i<=n;++i)
if(phi[i]==i){
isprime[i]=1;
for(rg int j=i;j<=n;j+=i)
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
for(rg int i=1;i<=n;++i)phi[i]+=phi[i-1];
ll ans=0,orz=0;
for(rg int i=2;i<=n;++i)if(isprime[i])ans+=phi[n/i],++orz;
printf("%lld
",ans*2-orz);
return 0;
}
写完了。
吐血。。。