超几何函数学习笔记

也不知道这玩意在(OI)里有没有用,看到觉得挺有意思,然后又因为这几天颓废没事做,就学了一下

如果非常幸运进入集训队,就把这个当论文吧

引入

• 定义:超几何函数形如:(F(inom{a_1,a_2.....a_n}{b1,b2.....b_m},z) = sum_{k}^{infty}frac{prod_{i}a_i^{ar{k}}z^k}{prod_jb^{ar{k}}k!})
• 定义级数(t_k = frac{prod_{i}a_i^{ar{k}}z^k}{prod_jb^{ar{k}}k!})
• 注意按照定义,有(t_0 = 1)
• 超几何函数的强大之处在于,它可以将许多有关二项式的和式归为若干类,然后运用已有的公式来计算封闭形式
• 如以下最经典的公式
• (F(inom{a,-n}{c},1) = frac{(c-a)^{ar{n}}}{c^{ar{n}}}),(n ge 0)

正文

1. 如何从和式推出相应的超几何函数
2. 一些经典的超几何函数公式
3. 超几何函数的适用性和局限性
4. *机械求和法

• 希望这次我不会咕咕

如何从和式推出相应的超几何函数?

• 注意级数(frac{t_{k+1}}{t_k} = frac{prod_i(k+a_i)(z)}{prod_j(k+b_j)(k+1)}),且任意有理函数都可以写成这种形式
• 也就是说我们只要求出级数的比值就可以求出对应的超几何函数
• (example:)求(sum_{k}frac{inom{n}{k}}{inom{m}{k}}\)

[egin{aligned} &解:令t_k = frac{inom{n}{k}}{inom{m}{k}}\ &所以frac{t_{k+1}}{t_k} = frac{n^{underline{k+1}}}{n^{underline{k}}} imes frac{m^{underline{k}}}{m^{underline{k+1}}}\ &=frac{(k-n)*(k+1)*1}{(k-m)*(k+1)}\ &又因为t_0 = 1\ &所以原式 = F(inom{-n,1}{-m},1)\ &=frac{(-m-1)^{ar{n}}}{(-m)^{ar{n}}}\ &= frac{m+1}{m-n+1} end{aligned}]