卢卡斯定理小结

前言

本文部分证明为作者本人思考，故可能有误，欢迎在评论里提醒

前置芝士

性质一：(C_p^i=frac{p}{i}C_{p-1}^{i-1}equiv 0(mod p) (1≤i<p,pin prime))
证明：
1(.C_p^i=frac{p!}{i!(p-i)!}=frac{p}{i}frac{(p-1)!}{(i-1)!(p-i)!}=frac{p}{i}frac{(p-1)!}{(i-1)!((p-1)-(i-1))!}=frac{p}{i}C_{p-1}^{i-1})
2(.C_p^i=frac{p!}{i!(p-i)!})由于((1≤i<p))且(C_p^i)为正整数，( herefore (p-1)!)能被(i!(p-i)!)整除
即(C_p^i=frac{p!}{i!(p-i)!}equiv 0(mod p) (1≤i<p))
至此，性质一得证

性质二：((1+x)^pequiv 1+x^p(mod p) (pin prime))
证明：
((1+x)^p=C_p^0 x^0+C_p^1 x^1+...+C_p^p x^p)
由性质一得
(C_p^0 x^0+C_p^1 x^1+...+C_p^p x^pequiv C_p^0 x^0+C_p^p x^p(mod p)equiv 1+x^p(mod p))
至此，性质二得证

卢卡斯定理

(C_{a}^b mod p(pin prime))

还记得余数的表示形式吗？(a=lp+r,b=sp+t)

((1+x)^a=(1+x)^{lp}(1+x)^r)

其中((1+x)^{lp}equiv ((1+x)^p)^lequiv (1+x^p)^l)

( herefore (1+x)^aequiv (1+x^p)^l(1+x)^r(mod p))

( herefore sumlimits_{i=0}^aC_a^i x^iequiv sumlimits_{i=0}^l C_l^i x^{ip} sumlimits_{j=0}^r C_{r}^j x^j(mod p))

( herefore C_a^b x^bequiv C_l^sx^{sp}C_r^tx^t(mod p)equiv C_l^sC_r^tx^{sp+t}(mod p)equiv C_l^sx^{sp}C_r^tx^t(mod p)equiv C_l^sC_r^tx^{b}(mod p))

( herefore 我们得到卢卡斯定理C_a^bequiv C_l^s C_r^tequiv C_{lfloor frac{a}{p} floor}^{lfloor frac{a}{p} floor}C_{a\%p}^{b\%p})

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