关于几何的一点高中知识

弧度

先来认识一下弧度，在半径为(r)的圆上一个扇形，(anglealpha)，其弧长为(ell)，则(angle alpha=frac{ell}{r})

而一个圆周角的弧度为(frac{ell}{r}=frac{2pi r}{r}=2pi)

弧度的单位为(rad)，但通常后面不需要带单位

(sin~1=sin~1rad,sin 1≠sin 1^o)

向量

移动向量是不会改变大小的

• (overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}=overrightarrow{BC})

• (overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC}=-overrightarrow{AC}+overrightarrow{AB}=overrightarrow{CB})
  向量取负相当于大小不变，方向相反，就形成了(C-A-B)的路线，由于向量加法是带有首尾相连性质的，所以结果显然

• (vec{a}cdot vec{b}=(x_1,y_1)cdot (x_2,y_2))：我们可以看作模长乘投影

(|a|cdot |b|cdot cos~alpha)：

(x_1x_2+y_1y_2)：

来证明一下这个：

[egin{aligned} (x_1,y_1)cdot (x_2,y_2)&=(x_1vec{e_1}+y_1vec{e_2})(x_2vec{e_1}+y_2vec{e_2})\ &=x_1x_2vec{e_1}^2+(x_1y_2+y_1x_2)vec{e_1}vec{e_2}+y_1y_2vec{e_2}^2\ &=x_1x_2+y_1y_2end{aligned}]

三角函数

(r)是线段的长度，为正数，而(x)为坐标，当(alpha>90^o)，(x)为负数，(cos(alpha)<0)

(cos(pi)=-1)，利用反函数得(pi=acos(-1)),(cos(0)=1)

诱导公式

诱导公式的两部分：

旋转特殊角同一函数值的变化：正负取决于旋转后的两边比中的两边相对于之前的正负变化，同正异负

• (cos/sin/tan(alpha)=(alpha+2kpi))

• (cos/sin(alpha)=-(alpha+pi),tan(alpha)=(alpha+pi))

• (-alpha)为(alpha)的终边关于(x)轴对称，那么(y_2=-y_1)
  (sin/tan(alpha)=-(-alpha),cos(alpha)=(-alpha))

• (pi -alpha)为(alpha)的终边关于(y)轴对称，类似于上面，不再赘述

一个三角函数通过(x)值的变化转换到另一个函数

• (sin(frac{pi}{2}-alpha)=cos(alpha),cos(frac{pi}{2}-alpha)=sin(alpha))：(frac{pi}{2}-alpha+alpha=frac{pi}{2})，所以终边关于(y=x)对称，横纵坐标刚好交换了

• (sin(frac{pi}{2}+alpha)=cos(alpha),cos(frac{pi}{2}+alpha)=-sin(alpha))：终边关于(x)轴对称，((x,y)longrightarrow(-y,x))

余弦公式

(cos(alpha+eta)=cos(alpha)cos(eta)-sin(alpha)sin(eta))，(cos(alpha-eta)=cos(alpha)cos(eta)+sin(alpha)sin(eta))