最大权闭合子图

个人理解

网络流最小割里最重要的一节，不是说应用有多广，而是思想重要

很多大家口中"最大权闭合子图拓展题"，个人并不觉得有什么关联，每题都是不同的，相同的可能只是理解的思想，如果放在一起想，只会造成做题的混乱与局限

前置知识

闭合子图：一个点集(V)，如果点(i)在集合中，其出边所连接的点也在此集合中

简单割：割集全部连接源点或汇点

定义

最大权闭合子图：在有向联通带点权图中(且为(DAG))，权值和最大的闭合子图

建模

定义源点汇点，按点权正负连接与其连接，源点(longrightarrow)正点，负点(longrightarrow)负点((0)点对结果没有影响，不需要处理())
并赋边权为点权

原图的边权置为(inf)

结论

求解最大权闭合子图是在三个结论基础上进行的，先来证明一下：

• 图的最小割为简单割
  证明：仅原图的边为连接源点或汇点，而这些边已置为(inf)，故不可能选择

• 在原图去除最小割的前提下，含有(S)的闭合子图(在下方我们称为图(S))为最大权闭合子图
  证明：记割集的权值和为(X)，连接源点的权值和为(x_1)，连接汇点的权值和为(x_2)，则(X=x_1+x_2)(边)
  记图(S)的点权和为(W)，正点权和为(w_1)，负点权和为(-w_2)，则(W=w_1-w_2)(点)
  (X+W=w_1-w_2+x_1+x_2)，而(w_2=x_2()负点与汇点连接，图(S)是与汇点不联通是由于割掉了连接汇点的边())
  故(X+W=w_1+x_1)，而(w_1+x_1)为原图正点权和，故(W=(w_1+x_1)-X)，而正点权和可以理解为常数

做法

求出最小割，正点权减掉及是最大权闭合子图权值和

感性理解

2020.1.18 up：突然发现前面的证明好愚蠢，正确性显然嘛