优劣解距离法(TOPSIS)

一、模型介绍

　　TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

　　基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

二、基本步骤

（一）将原始矩阵正向化

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益型）指标	越大（多）越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型（成本型）指标	越小（少）越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	水质量评估时的PH值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物量

所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标，公式是不唯一的。

1)极小型指标->极大型指标

极小型指标转换为极大型指标的公式：

2）中间型指标->极大型指标

中间型指标：指标值既不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水质量评估PH 值）

是一组中间型指标序列，且最佳的数值为，那么正向化公式如下：

3)区间型指标

区间型指标：指标值落在某个区间内最好，例如人的体温在36°～37°这个区间比较好。

（二）正向化矩阵标准化

标准化的目的是消除不同指标量纲的影响。

假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化了），构成的正向化矩阵如下：

那么，对其标准化的矩阵记为Z，Z中的每一个元素：

（每一个元素除以根号下每一列元素的平方和）

（三）计算得分并归一化

假设有n个评价对象，m个评价指标的标准化矩阵

定义最大值Z⁺=(Z₁⁺,Z₂⁺,..,Z_m⁺)

　　　　　　=(max{z₁₁,z₂₁,..,z_n1},max{z₁₂,z₂₂,..,z_n2},...,max{z_1m,z_2m,..,z_nm})

定义最小值Z^-=(Z₁^-,Z₂^-,..,Z_m^-)

　　　　　　=(min{z₁₁,z₂₁,..,z_n1},min{z₁₂,z₂₂,..,z_n2},...,min{z_1m,z_2m,..,z_nm})

定义第i(i=1,2,..,n)个评价对象与最大值的距离

定义第i(i=1,2,..,n)个评价对象与最小值的距离

那么可以计算得出第i(i=1,2,..,n)个评价对象未归一化的得分

很明显0<=S_i<=1,且S_i越大D_i⁺越小，即越接近最大值

将得分进行归一化