素数筛

对于一些题，我们需要去枚举n以下的素数，
但是有时可能不止一个数需要这样做，所以下面介绍一些筛出n以下的素数的方法

一.暴力求解

直接枚举每一个(iin[2,n])，判断其是否是素数，然后加入数组
判断素数的话枚举(jin[2,sqrt i]),判断是否i能整除j，若都不能，则i为素数
代码比较简单，时间复杂度最高，为(O(nsqrt n))

for(int i=2;i<=n;i++){
	bool f=true;;
	for(int j=2;j<=sqrt(i);j++)if(i%j==0)f=false;
	if(f)cout<<i<<endl;
}

输出的即为n以内的所有素数

二.优化一下

当然，是素数的放在q数组中，
那其实有一些数可以被它的因数筛掉，也就是加个标记
之后看到直接跳过判断
所以判断也不需要(sqrt n)的时间了
若到它时它仍未被访问过，则它就是个素数
这样的时间复杂度可以被减为比(O(n))大一点的了
代码的话如下：

for(int i=2;i<=n;i++){
	if(!vis[i])q[++cnt]=i;
	for(int j=1;i*j<=n;j++)vis[i*j]=1;
}

进一步优化

我们会发现优化的代码中(j)是从(1→n/i)的
那么难免会碰到一些无用的步骤
如枚举(k)的(j)时会循环出现(1→k-1)，会有一定的重复标记
为了避免，我们可以不枚举筛(i imes j)，可以去筛(i imes p[j])
当(p[j]==i)的因子时就可以跳出循环
因为(j)之后的某个(k)而产生的(p[k] imes i)可以被(p[j]整除)
则之后这个(p[k] imes i)可以被(p[j])筛掉，则此时无需多筛
时间复杂度接近(O(n))，代码也不怎么长

for(int i=2;i<=n;i++){
	if(!vis[i])q[++cnt]=i;
	for(int j=1;p[j]*i<=n;j++){
		vis[i*p[j]]=1;
		if(i%p[j]==0)break;
	}
}

总结

其实最后优化出的就是经典的欧拉筛
其实有些题预处理时暴力也可以……
但是这样也没多多少，代码也快了不少
所以提倡记熟欧拉筛
偷偷说一句，打表好像更快
如果有所遗漏，望大佬们在评论中加以补充
好了就这样了，下期再见！