回溯 八皇后问题 与 0-1背包

八皇后问题描述：

我们有一个 8x8 的棋盘，希望往里放 8 个棋子（皇后），每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。你可以看我画的图，第一幅图是满足条件的一种方法，第二幅图是不满足条件的。八皇后问题就是期望找到所有满足这种要求的放棋子方式。

 我们把这个问题划分成 8 个阶段，依次将 8 个棋子放到第一行、第二行、第三行……第八行。在放置的过程中，我们不停地检查当前放法，是否满足要求。如果满足，则跳到下一行继续放置棋子；如果不满足，那就再换一种放法，继续尝试。

回溯算法非常适合用递归代码实现，所以，我把八皇后的算法翻译成代码：

public class Queens8 {

    int[] result = new int[8];//全局或成员变量,下标表示行,值表示queen存储在哪一列

    public static void main(String[] args) {
        new Queens8().cal8queens(0);

    }
    public void cal8queens(int row) { // 调用方式：cal8queens(0);
        if (row == 8) { // 8个棋子都放置好了，打印结果
            printQueens(result);
            return; // 8行棋子都放好了，已经没法再往下递归了，所以就return
        }
        for (int column = 0; column < 8; ++column) { // 每一行都有8中放法
            // 这里是分叉路，分岔路下面递归进去执行完后，会退回这里
            // 这里作为最外层的递归起始点，row一直是0，不过是colum一直在移动，寻找各种符合的条件
            // 比如 result[0] = 0，第一个起点，下面有多少种情况，
            // 第二个起点result[0] = 1 还需要用递归判断下面有多少种情况
            if (isOk(row, column)) { // 有些放法不满足要求
                result[row] = column; // 第row行的棋子放到了column列
                System.out.println("row="+row+"	colum="+column);
                cal8queens(row+1); // 考察下一行
            }
            System.out.println("------------colum="+column);
        }
    }

    private boolean isOk(int row, int column) {//判断row行column列放置是否合适
        int leftup = column - 1, rightup = column + 1;
        for (int i = row-1; i >= 0; --i) { // 逐行往上考察每一行
            if (result[i] == column) return false; // 第i行的column列有棋子吗？
            if (leftup >= 0) { // 考察左上对角线：第i行leftup列有棋子吗？
                if (result[i] == leftup) return false;
            }
            if (rightup < 8) { // 考察右上对角线：第i行rightup列有棋子吗？
                if (result[i] == rightup) return false;
            }
            --leftup; ++rightup;
        }
        return true;
    }

    private void printQueens(int[] result) { // 打印出一个二维矩阵
        for (int row = 0; row < 8; ++row) {
            for (int column = 0; column < 8; ++column) {
                if (result[row] == column) System.out.print("Q ");
                else System.out.print("* ");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println();
    }
}

0-1背包问题

我们有一个背包，背包总的承载重量是 Wkg。现在我们有 n 个物品，每个物品的重量不等，并且不可分割。我们现在期望选择几件物品，装载到背包中。在不超过背包所能装载重量的前提下，如何让背包中物品的总重量最大？

为什么叫0-1？应为物品是不可分割的，要么装要么不装。

1.确定好最终返回条件

2.转移公式

具体例子：小明有个背包，最大装9kg物品，现在桌上有几个物品，重量（kg）分别是2,2,4,6,3  问，小明包里能装的最大多少kg？

private static  int[] weight = {2,2,4,6,3};  // 物品重量
private static  int n = 5;                   // 物品个数
private static  int w = 9;                   // 背包承受的最大重量
代码如下：

public int maxW = Integer.MIN_VALUE; //存储背包中物品总重量的最大值
// cw表示当前已经装进去的物品的重量和；i表示考察到哪个物品了；
// w背包重量；weight表示每个物品的重量；n表示物品个数
// 假设背包可承受重量9，物品个数5，物品重量存储在数组weight中，那可以这样调用函数：
// f(0, 0, weight, 5, 9)
public void f(int i, int cw, int[] items, int n, int w) {
  if (cw == w || i == n) { // cw==w表示装满了;i==n表示已经考察完所有的物品 
    if (cw > maxW) maxW = cw;
    return;
  }
  f(i+1, cw, items, n, w);    //这里递归只写cw,说明这行代码不装物品
  if (cw + items[i] <= w) {// 已经超过可以背包承受的重量的时候，就不要再装了
    f(i+1,cw + items[i], items, n, w);//这里要装这个物品，但是需要上面的约束条件
  }
}

 回溯可以添加备忘录做优化

优化后如下：

private int maxW = Integer.MIN_VALUE; // 结果放到maxW中
private int[] weight = {2，2，4，6，3};  // 物品重量
private int n = 5; // 物品个数
private int w = 9; // 背包承受的最大重量
private boolean[][] mem = new boolean[5][10]; // 备忘录，默认值false
public void f(int i, int cw) { // 调用f(0, 0)
  if (cw == w || i == n) { // cw==w表示装满了，i==n表示物品都考察完了
    if (cw > maxW) maxW = cw;
    return;
  }
  if (mem[i][cw]) return; // 重复状态
  mem[i][cw] = true; // 记录(i, cw)这个状态
  f(i+1, cw); // 选择不装第i个物品
  if (cw + weight[i] <= w) {
    f(i+1,cw + weight[i]); // 选择装第i个物品
  }
}