设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某一个去心邻域(不包括 $x_{0}$ )有定义，如果存在常数 $A$，对于给定的任意正数 $varepsilon$ (无论它多么小)，
总存在正数 $delta$，使得当 $x$ 满足 $0 < |x-x_{0}| < delta$ 时，总有
$$|f(x) - A| < varepsilon$$
换句话说：总存在 $x_{0}$ 的一个邻域，邻域内的点都满足 $f(x)$ 到 $A$ 的距离小于给定值 $varepsilon$。
自变量和函数是同步的，$x$ 越趋近 $x_{0}$，$f(x)$ 就越趋近 $A$，但逼近是无法划等号的，总有误差存在，即得不到精确值。
于是引入极限的概念。将上述 $x$ 逼近 $x_{0}$ 的过程定义为极限，用 $lim$ 符号描述，此时极限值和逼近值可以划等号：
$$x ightarrow x_{0},;f(x) ightarrow A$$
$$x ightarrow x_{0},;f(x) eq A$$
$$lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) = A$$
可以发现，某点处极限存不存在和该点是否定义无关。
极限描述了一个动态的无限逼近的过程，但又于纯粹的逼近不同，逼近是近似的，但极限是精确的。逼近的误差是一个无穷小量，记为 $alpha $，于是
$$f(x) = A + alpha$$
$$lim_{x ightarrow x_{0}}alpha = 0$$
来进一步探究一下这个逼近过程：
$x ightarrow x_{0}$ 代表两层含义，即 $x$ 从小于 $x_{0}$ 的一边趋于 $x_{0}$ 和从大于 $x_{0}$ 的一边趋于 $x_{0}$，所以要使极限值存在，则必须满足 $x$ 从两
个方向逼近到 $x_{0}$，函数值都会趋于一个相同的值，即左极限 $=$ 右极限：
$$lim_{x ightarrow x_{0}^{-}}f(x) = lim_{x ightarrow x_{0}^{+}}f(x) = A$$
极限的性质
1）局部保号性：设 $lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) = A$，若 $A > 0$，则存在一个 $x_{0}$ 的去心邻域，满足 $f(x) > 0$。
这个性质是通过函数在某点极限的符号，来得到函数在该点邻域内的符号。