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  • 介值定理

    最值定理和介值定理共有前提:函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续函数。这个前提下面不再赘述。

    1. 最值定理

       只要前提满足,则必存在实数 $m$ 和 $M$,使得

    $$m leq f(x) leq M$$

       $m$ 为函数在区间上的最小值,$M$ 为最大值。换句话说:闭区间上的连续函数是一个有界函数,必定存在最大值和最小值

    2. 介值定理

       函数 $f(x)$ 在区间的端点取函数值 $f(a)=A,f(b)=B$,且 $A eq B$,那么当 $C in (A,B)$ 时,至少存在一点 $xi in (a,b)$,使

    $$f(xi) = C$$

       为什么需要指明 $A eq B$ 呢?因为假如 $A = B$,那这个点在开区间内不一定存在,可以这样改:

       当 $C in [A,B]$ 时,至少存在一点 $xi in [a,b]$,使

    $$f(xi) = C$$

       注:第一种定义明确了 $xi$ 会在区间内部,而第二种定义 $xi$ 可能会出现在区间端点。

    将介值定理和最值定理结合起来:

       1)对闭区间先使用最值定理,因为闭区间上的连续函数有界并且能取得最大值和最小值。

       2)再对最大值点和最小值点所在的子闭区间使用介值定理,即当 $m leq C leq M$ 时,该子闭区间上至少存在一点 $xi$,使得 $f(xi) = C$。

       既然子区间有这个性质,那扩展到整个区间,就得到一个关于介值定理的推论:

       闭区间 $[a,b]$ 上连续的函数 $f(x)$,函数最大值 $M$,最小值 $m$,则当 $C$ 满足 $m leq C leq M$,在闭区间上必存在一点 $xi$ 满足

    $$f(xi) = C,xi in [a,b]$$

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