泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，
使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。
定义：函数 $f(x)$ 在含 $x_{0}$ 的某个开区间 $(a,b)$ 内具有直到 $n + 1$ 阶导数，则对任意的 $x in (a,b)$ 有
$$f(x) = frac{f(x_{0})}{0!} + frac{f^{'}(x_{0})}{1!}(x-x_{0}) + frac{f^{''}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + R_{n}(x)$$
观察式子可知，泰勒公式是以某个 $n+1$ 阶可导点 $x_{0}$ 的各阶导数为系数，$x-x_{0}$ 为幂次项所构成的一个多项式。
也可以写成其它形式，如
$$f(x_{0} + h) = frac{f(x_{0})}{0!} + frac{f^{'}(x_{0})}{1!}h + frac{f^{''}(x_{0})}{2!}h^{2}+...+frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}h^{n} + R_{n}(x)$$
这里的 $R_{n}(x)$ 即为误差，因为使用多项式函数在某可导的点展开，逼近给定函数，最后肯定会有一点误差，我们称之为余项。
余项有几种不同的形式：
1）拉格朗日余项：这个余项的需要 $n+1$ 阶导数，其形式为
$$R_{n}(x) = frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$$
其中 $xi$ 介于 $x$ 和 $x_{0}$ 之间。
2）佩亚诺余项：其形式为
$$R_{n}(x) = o((x-x_{0})^{n})$$
那这个公式怎么来的呢？下面是一种思路。
我们知道导函数的公式是这样子的：
$$f^{'}(x_{0}) = lim_{x ightarrow x_{0}}frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}}$$
去掉极限符号，引入误差得 $alpha (x)$，$lim_{x ightarrow x_{0}} alpha (x) = 0$：
$$frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} = f^{'}(x_{0}) + alpha (x) \
herefore ; f(x) - f(x_{0}) = f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + alpha (x) cdot (x-x_{0}) \
herefore ; f(x) = f(x_{0}) + f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + alpha (x) cdot (x-x_{0})$$
又
$$lim_{x ightarrow x_{0}} frac{alpha (x)(x-x_{0})}{x-x_{0}} = 0$$
所以记
$$o(x-x_{0}) = alpha (x) cdot (x-x_{0}) \
herefore ; f(x) = f(x_{0}) + f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + o(x-x_{0})$$
很明显，上面这个式子就是一阶泰勒公式。
那么如何得到二阶的呢？
先比较一下二阶泰勒和一阶泰勒形式上的差别。它们前两项都是一样的，只不过二阶的又多出了一项。高阶无穷小的记号实际上是一个「收纳筐」，
它里面装着很多隐藏着的东西。如此，我们猜测，二阶泰勒多出来的这一项，一定是从一阶泰勒那个高阶无穷小中「分析」出来的。
对余项进行分析，像把它变成一个 $x-x_{0}$ 的平方项和一个误差项的和，很明显想到做极限，即
$$lim_{x ightarrow x_{0}}frac{o(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}} = lim_{x ightarrow x_{0}} frac{f(x) - f(x_{0}) - f^{'}(x_{0})(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}} = lim_{x ightarrow x_{0}} frac{f^{'}(x) - f^{'}(x_{0})}{2(x-x_{0})} = frac{1}{2}f^{''}(x)$$
去掉极限符号，引入误差 $alpha_{1} (x)$，$lim_{x ightarrow x_{0}} alpha_{1} (x) = 0$，得
$$frac{o(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}} = frac{1}{2}f^{''}(x) + alpha_{1} (x) \
herefore ; o(x-x_{0}) = frac{1}{2}f^{''}(x)(x-x_{0})^{2} + alpha_{1} (x)(x-x_{0})^{2}$$
代入一阶泰勒公式中，有：
$$f(x) = f(x_{0}) + f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + frac{1}{2}f^{''}(x)(x-x_{0})^{2} + alpha_{1} (x)(x-x_{0})^{2} \
= f(x_{0}) + f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + frac{1}{2}f^{''}(x)(x-x_{0})^{2} + o((x-x_{0})^{2})$$
这就是二阶泰勒公式！其余更高阶项可如法炮制。