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  • 矩阵的逆

    任何一个线性变换都会有逆变换,逆变换矩阵作用于输出向量,能得到原向量。假如矩阵 $A$ 的逆变换是 $B$,则有

    $$ Aalpha = eta \
    Beta = alpha \
    BAalpha = alpha $$

    但这样的一个逆变换,交换位置之后却不一定能抵消,甚至连矩阵相乘的条件都不一定满足,即

    $$AB eq BA \
    or ; BA ; is ; wrong$$

    我们设想中的逆变换应该是这样的:变换 $A$ 和其逆变换 $B$ 不论谁先作用于向量,都应该相互抵消,即 

    $$ABalpha = BAalpha = alpha$$

    那什么样的变换矩阵能满足我们理想中的逆变换呢?

        1)$A$ 首先必须方阵,这样一来其逆变换矩阵也是方阵,两个矩阵就可以交换位置相乘。

        2)共同作用后变化效果能相互抵消,因为单位矩阵作用于任何向量都是它本身,所以 $AB = BA = E$。

    满足上述条件的逆变换矩阵称为逆矩阵,记为

    $$A^{-1} = B ; or ; B^{-1} = A$$

    任何变换矩阵都存在逆变换,逆变换 $ eq$ 逆矩阵,只有非奇异矩阵的逆变换才是逆矩阵

    关于逆矩阵的一些性质:

        1)$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$,可以根据定义来证明:$ABB^{-1}A^{-1} = B^{-1}A^{-1}AB = E$

        2)$k eq 0$ 时,$(kA)^{-1} = frac{1}{k}A^{-1}$,易根据定义证明:$kA cdot frac{1}{k}A^{-1} = frac{1}{k}A^{-1} cdot kA = E$

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