设矩阵 $A = (a_{ij})_{n imes n}$，将矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行第 $j$ 列元素划去后，剩余的各元素按原来的排列顺序组成
的 $n-1$ 阶矩阵所确定的行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$，并定义它的代数余子式为
$$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$$
方阵 $A$ 的各元素的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的如下矩阵
$$A^{*} =
egin{bmatrix}
A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \
A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \
... & ... & ... & ... \
A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn}
end{bmatrix}$$
称为 $A$ 的伴随矩阵。
伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
代数余子式的重要结论：
1）$n$ 阶行列式 $D_{n} = |a_{ij}|$ 等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
2）$n$ 阶行列式 $D_{n} = |a_{ij}|$ 的任一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
证明：
$$D = egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{i1}+0+ cdots + 0 & 0+a_{i2}+ cdots +0 & cdots & 0+ cdots +0+a_{in}\
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix} =
egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{i1} & 0 & cdots & 0\
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix} +
egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
0 & a_{i2} & cdots & 0\
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix} + cdots +
egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
vdots & vdots & & vdots \
0 & 0 & cdots & a_{in} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{vmatrix}$$
上面是将第 $i$ 行拆成若干个行向量相加，然后再按行列式的某行(列)向量相加的可拆性质进行拆开即可。
剩下的部分这里不写。
证毕