人工神经网络是一个数学模型，旨在模拟人脑的神经系统对复杂信息的处理机制，其网络结构是对人脑神经元网络的抽象，两者有很多相似之处。
当然 ANN 还远没有达到模拟人脑的地步，但其效果也让人眼前一亮。
1. 人工神经元结构
人工神经元是一个多输入单输出的信息处理单元，是对生物神经元的建模。建模方式可以有很多种，不同的建模方式就意味着不同的人工神经元结构。
比较著名的人工神经元模型是 MP 神经元，直到今天，我们仍然在使用这个神经元模型。MP 神经元是模仿生物的神经元设计的：
1）输入向量 $x$ 模拟生物神经元中其他神经细胞给该细胞的刺激，值越大刺激越大；
2）$w$ 向量模拟该细胞不同来源的刺激的敏感度；
3）用阈值 $ heta$ 来描述激活该神经元的难易程度，越大越难激活；
4）用 $w_{1}x_{1} + w_{2}x_{2} + ... + w_{n}x_{n} - heta$ 来计算神经元的兴奋程度；
5）$y = f(x)$ 为激活函数，用来计算神经元的输出，因为生物神经元的输出是有上下限的，所以激活函数也是能够“饱和”的有界函数；
6）在 MP 神经元中，激活函数为阶梯函数。兴奋函数大于阈值输出 $1$，小于阈值输出 $0$；
下图是 MP 神经元模型的示意图：
将激活函数代入，将项 $- heta$ 设为 $b$，则可以得到 MP 神经元的数学模型：
$$y = sgn left ( sum_{i=1}^{n}(w_{i}x_{i} + b) ight ) = sgn left ( w^{T}x + b ight )$$
惊讶得发现它就是一个线性分类模型，和感知机的数学模型是完全一样的，所以一个 MP 神经元的作用就是：对输入进行二分类。
这是符合生物神经元的特点的，因为一个生物神经元对输入信号所产生的作用就是：兴奋或这抑制。
所以通俗来讲：一条直线把平面一分为二，一个平面把三维空间一分为二，一个 $n-1$ 维超平面把 $n$ 维空间一分为二，两边分属不同的两类，
这种分类器就叫做神经元，一个神经元只能分两类，输出是一个能体现类别的标量。
一个神经元的作用就是这么简单，所做的也只能是线性分类，但是当多个神经元互联的时候就会产生神奇的效果，下面再叙述。
MP 神经元的输出是样本点所属的类别，它把直线一侧变为 $0$，另一侧变为 $1$，这东西不可微，不利于数学分析，经常用其它类似于 $sgn$ 的可微
函数来做激活函数，如：
用上面的激活函数，比使用符号函数能体现样本的更多信息。
2. 多层感知器
由于 MP 神经元的输入来自于其他神经元，我们显然不能指望单独一个神经元就有什么功能，而多个神经元可以组成不同的结构。
下面介绍一个二层感知器，来直观得感受下神经网络到底是如何工作的？其网络结构图如下：
用这个网络对输入 $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ 四个点进行分类，其中红点是一类，蓝点是一类，使用的激活函数是 $sgn$。
因为一个神经元的作用就是切一刀，即做一次线性分割，很显然对于上面的四个点没有办法只切一刀就完成分类，于是考虑用两个神经元，
即现在隐藏层有两个神经元，即再切一刀，现在我们分析一下隐藏层两个神经元的输出情况：
$$x_{1} ;;; x_{2} ;;; y_{1} ;;; y_{2} \
0 ;;;;; 1 ;;;; 1 ;;;;; 1 \
0 ;;;;; 0 ;;;; 0 ;;;;; 1 \
1 ;;;;; 1 ;;;; 0 ;;;;; 1 \
1 ;;;;; 0 ;;;; 0 ;;;;; 0$$
我们将隐藏层的输出 $(y_{1},y_{2})$ 绘制在坐标系上，如上右图。神奇的事情发生了，原本无法一刀切的四个点，经过隐藏层
的后，变成了线性可分的，此时通过一条直线可以完成分类，所以输出层的神经元一个就够了。
神经网络是由一层一层构建的，那么每层究竟在做什么呢？
由上面的例子可以理解到，每一层神经元就是用线性变换跟随着非线性变化，将输入空间投向另一个空间，变换手段有：
1）升维/降维
2）放大/缩小
3）旋转
4）平移
5）弯曲
其中 $1,2,3$ 操作由 $w^{T}x$ 完成，$4$ 操作由 $+b$ 完成，$5$ 操作由激活函数 $f$ 完成。
我们知道空间是由基决定的，首先我们先定义一个参考系 $S_{1}$，整个神经网络以它为坐标系。
将一个变换作用在一个向量上面，该怎么理解为空间的改变呢？举一个例子；在参考系 $S_{1}$ 下面的一个向量 $(a,b)$，将它做如下变换：
$$ai^{'} + bj^{'}$$
其中 $i^{'},j^{'}$ 线性无关，那么这个输出相当于以向量 $i^{'},j^{'}$ 为基(参考系还是 $S_{1}$)进行合成，因为基 $i^{'},j^{'}$ 本身就可
以表示一个空间，变换本质在这个空间里进行与原空间 $S_{1}$ 相同效果的向量合成，只不过新的空间是以参考系 $S_{1}$ 来进行坐标表示的。
关键就在于变化前后的参考系没有改变，那么只要有足够的合适的神经元，空间的扭曲形变终究会使样本点线性可分。
注：这个地方理解得不对，参考系也变化到对应维度的空间去了。
3. 神经网络模型训练算法
1）单层感知器梯度下降法
激活函数为 $sigma(u)$，故该网络的数学模型：
$$hat{f} = sigma(w^{T}x + b)$$
对于一个输入向量，期望的网络输出为 $f$(训练集中已知的量)，模型的实际输出为 $hat{f}$，损失函数定义为：
$$L(w,b) = frac{1}{2} left ( f - hat{f} ight )^{2} = frac{1}{2} left [ f - sigma(w^{T}x + b) ight ]^{2}$$
这个误差只是针对一个样本点的，除以 $2$ 的目的仅是为了求梯度时更好看，训练的时候是一个一个样本代入求损失函数的最小值，是随机梯度下降法。
需要确定的参数是 $w_{i},i = 1,2,...,n$ 和 $b$，根据链式法则求偏导得：
$$frac{partial L}{partial w_{i}} = frac{partial L}{partial hat{f}} cdot frac{partial sigma}{partial u} cdot frac{partial u}{partial w_{i}} = - left ( f - hat{f}
ight ) cdot x_{i} cdot frac{partial sigma}{partial u}
; Rightarrow ; frac{partial L}{partial w} = left ( f - hat{f}
ight ) cdot X cdot frac{partial sigma}{partial u} \
frac{partial L}{partial b} = frac{partial L}{partial hat{f}} cdot frac{partial sigma}{partial u} cdot frac{partial u}{partial b} = - left ( f - hat{f}
ight ) cdot frac{partial sigma}{partial u}$$
所以参数更新方法为：
$$w = w + eta left ( f - hat{f}
ight ) cdot X cdot frac{partial sigma}{partial u} \
b = b + eta left ( f - hat{f}
ight ) cdot frac{partial sigma}{partial u}$$
2）多层感知器的反向传播算法
图中 $i$ 表示输入层单元，$j$ 表示中间层单元，$k$ 表示输出层单元。多层感知器的误差函数 $L(w,b)$ 等于个输出单元的误差总和，即
$$L(w,b) = frac{1}{2}sum_{k=1}^{q}(r_{k} - y_{k})^{2}$$
$r_{k}$ 表示期望的输出，是已知量(训练集提供)，$y_{k}$ 为模型的实际输出，设激活函数为 $sigma(u)$。
先来看一下各层的函数关系：
$$y_{k} = sigma_{2k} left ( sum_{j=1}^{m}w_{2jk}z_{j} + b_{2k}
ight ) \
z_{j} = sigma_{1j} left ( sum_{i=1}^{n}w_{1ij}x_{i} + b_{1j}
ight )$$
需要确定的参数就是 $w_{1ij},w_{2jk},b_{1j},b_{2k}$，对每一层的各个参数求偏导有：
$$frac{partial L}{partial w_{2jk}} = frac{partial L}{partial y_{k}} cdot frac{partial sigma_{2k}}{partial u_{2k}} cdot frac{partial u_{2k}}{partial w_{2jk}} = -(r_{k} - y_{k}) cdot z_{j} cdot frac{partial sigma_{2k}}{partial u_{2k}}$$
$$frac{partial L}{partial w_{1ij}} = sum_{k=1}^{q}frac{partial L}{partial y_{k}} cdot frac{partial sigma_{2k}}{partial u_{2k}} cdot frac{partial u_{2k}}{partial z_{j}} cdot frac{partial sigma_{1j}}{partial u_{1j}} cdot frac{partial u_{1j}}{partial w_{1ij}} = -sum_{k=1}^{q}(r_{k} - y_{k}) cdot frac{partial sigma_{2k}}{partial u_{2k}} cdot w_{2jk} cdot frac{partial sigma_{1j}}{partial u_{1j}} cdot x_{i}$$
假设激活函数为 $sigmod$，上面的过程可总结为下面两张图，图中的 $E$ 就是误差函数 $L$。
纵观整个过程，对于 ANN，当我们需要使用它时，是从最前面给出输入，然后一步步往后计算得出这个庞大复杂函数的输出的；
而当我们需要训练它时，则是从最后面的参数开始，一步步向前求导，调整各个参数的。并且计算前面的参数时一般都会用到之前计算过的中间结果。
这样，ANN 调整参数的过程就可以看作是一个误差反向传播（BP）的过程。