利用单位圆来定义任意角的三角函数，如下图所示，$alpha$ 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 $P(x,y)$。
那么角 $alpha$ 的正弦定义为
$$sin alpha = y$$
角 $alpha$ 的余弦定义为
$$cos alpha = x$$
角 $alpha$ 的正切定义为
$$ an alpha = frac{y}{x}$$
周期性在图像上可以直观看出，点 $P$ 从 $A$ 点出发绕 $360$ 度后又回到起始点。
角 $alpha$ 的正弦图像如下：
可以看出，正弦函数的定义就是：单位圆上点的纵坐标与角度(弧度表示)的关系，这个角度是该点与原点的连线和 $x$ 轴正半轴的夹角。
角频率：表示单位时间内变化的角度弧度值，单位为 $rad/s$。
现在我们将正弦函数中角度的变化表示为角频率和时间的乘积，即 $alpha = omega t$，所以
$$f = sinalpha = sin omega t$$
可以发现，当 $omega = 1 ; rad/s$ 时，$t$ 在数值上就等于 $alpha$。
接下来研究下面这个函数
$$f(t) = Asin(omega t + varphi)$$
函数 $f = sin alpha$ 的周期就是圆周的角度，即 $2pi$，转化为角速度乘上时间之后，函数 $f(t)$ 的周期就是角度变化一个圆周的时间，所以
$$T = frac{2pi}{omega}$$
频率：函数每秒钟完成周期性变化的次数，所以有
$$f = frac{1}{T}$$
所以
$$omega = 2pi f$$