不等式 $1$：
$$a^{2} + b^{2} geq 2ab$$
从代数角度来证明：
$$(a - b)^{2} geq 0 \
Rightarrow a^{2} -2ab + b^{2} geq 0 \
Rightarrow a^{2} + b^{2} geq 2ab$$
从几何角度来证明：
显然正方形 $ABCD$ 的面积会大于等于四个直角三角形的面积和，即
$$a^{2} + b^{2} geq 2ab$$
当中间那块白色区域面积为 $0$ 的时候，显然正方向的面积等于四个三角形的面积和。
无论用代数还是几何，还是通过坐标系，向量，都可以描述一个问题，从而给出问题的证明，比如几何上的余弦定理就可以通过
向量和代数角度证明，关键是找到描述问题的方式。
不等式 $2$：
$$sqrt{ab} leq frac{a + b}{2}, ; a geq 0, b geq 0$$
代数角度很好证明，利用不等式 $1$，令 $a = sqrt{a},b = sqrt{b}$，就有
$$a + b geq 2 sqrt{ab}$$
那么能找到这个问题的几何描述吗？关键在于如何用几何表示出 $sqrt{ab}$。
上面这个图，让 $AC = a, BC = b$，则 $frac{a + b}{2} = R$，通过设一些变量很容易证明：$CD = sqrt{ab}$，显然 $CD leq R$，
当点 $C$ 在圆心时，$CD = R$。
在这个不等式里，几何描述并不是很容易，代数角度就比较容易证明。数学上的问题使用不同的角度或工具考虑，难易程度是不同的。