引入问题
众所周知，位运算比加减乘除法省时间。
那么问题来了，给你一个非高精度数a和b，要求你不用任何乘除号完成a*b的运算，如何实现。
写在第二
当当当当，俄罗斯农夫算法闪亮出场。
当我真的开始着手研究这个算法时，惊讶于这方面的资料之少。想来如果可以重载一下运算符的话，如果能把每一边乘法的时间都进行优化的话，说不定能使整个算法的效率大大提高。然而当我花了半个小时才写出一个正确代码后，不仅感慨用这么多代码去换一丝丝丝的时间是否真的值得。虽然如此，即以决定，就把这个详细介绍俄罗斯农夫算法的博客写完吧。
理解算法
规则：什么是俄罗斯农民乘法？我要怎么使用它？
原理：俄罗斯农民乘法的工作原理是什么？
联系：俄罗斯农民乘法是如何与二进制相关联的呢？
什么是俄罗斯农民乘法？我要怎么使用它？
资料来源：http://article.yeeyan.org/view/66573/28201
我们绝大多数人学的都是这样做大数字乘法的：
86
x 57
------
602
+ 4300
------
4902
如果你懂得乘法算式，那么这种“长式相乘”的方法是快速和相对简单的。不过，还有许多其它的计算方法。其中之一通常被称之为俄罗斯农民算法。使用它时不需要你懂得乘法算式，你只需要将数字加倍，减半再进行合计。具体规则如下：
* 把每一个数字分别写在列头。
* 将头一列的数字加倍，将第二列的数字减半。
如果在第二列的数字是奇数，将它除以二并把余数去掉。
* 如果第二列的数字是偶数，将其所在行删除。
* 继续加倍、减半和删除直到第二列的数字为1。
* 将第一列中剩余的数字相加。于是就得出了根据原始数字计算出的结果。
让我们以计算57乘以86为例。
把每一个数字分别写在列头。
57 86
将头一列的数字加倍，将第二列的数字减半。
57 86
114 43
如果第二列的数字是偶数，将其所在行删除。
57 86
114 43
继续加倍、减半和删除直到第二列的数字为1。
57 86
114 43
228 21
456 10
912 5
1824 2
3648 1
将第一列中剩余的数字相加。于是就得出了根据原始数字计算出的结果。
57 86
114 43
228 21
456 10
912 5
1824 2
+ 3648 1
4902
真实的俄罗斯农民们可能会用好几碗的鹅卵石来记录他们加倍的数字，用来代替写在列里面的数字。（当然，他们或许不会对我们的例子里那么大的数字感兴趣，要知道四千多个鹅卵石可是很难操作的哟！）俄罗斯的农民们并不是唯一使用这种算法的人，在数千年之前古埃及人就已经发明了类似的方法，而同时在今天的计算机中仍然在使用与之相关的程序。
俄罗斯农民乘法的工作原理是什么？
让我们以计算9×8为例：
9 8
18 4
36 2
72 1
72是唯一一个留在左列里的数字，所以我们的答案就是72。请注意我们在其中一边乘以2，在另一边除以2，2 × 1/2 = 1，所以对最终结果并没有影响:
9 * 8 
= 18 * 4 
= 36 * 2 
= 72 * 1
我们刚才对数字进行了不同的组合，而对结果并没有影响。如果我们将8乘以9，我们应该得到同样的答案。那我们能用同样的方法来解释吗？
8 9
16 4
32 2
+ 64 1
72
当我们将9除以2，我们将余数去除因为9是一个奇数。由于我们“丢失”了一个，所以接下去的产生的每一行都会变得更小。让我们从第一行和第二行中寻找不同。
8*9 - 16*4
= 72 - 64
= 8
我们可以重写个减法来计算总和：
8 * 9 
= 16 * 4 + 8 
因为我们的结果少了8,所以我们就必须在最后把8给加回去。我们可以把这种追加认为是恢复了1组8，就是在前面我们丢掉的余数1。在不同的问题里，我们有可能会恢复不同组的数字。
俄罗斯农民乘法是如何与二进制相关联的呢？
二进制是以2代替10来作为基数的进制。这就意味着在位数上我们要用2的次方来代替10的次方：代替个位、十位和百位，二进制有一位、二位和四位等等。例如，14在二进制里表示为1110：
1110 (base 2)
= 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0
= 8 + 4 + 2 + 0
= 14
俄罗斯农民乘法能快速有效的将数字转换成二进制模式，将它们相乘，然后再转换回我们日常所使用的数字系统。这种关联两种进制的能力并不惊奇，因为二进制使用2作为基数，同时俄罗斯农民乘法使用2来相乘和相除。为了使这种关联更为清晰，让我们来研究一下12*13。
减半
你能够通过对数字进行重复的除以2并且留下余数来将其转换成二进制。让我们试一下12：
12/2 = 6 余数 0
6/2 = 3 余数 0
3/2 = 1 余数 1
1/2 = 0 余数 1
从下往上读取余数，我们得到了1100,所以12所对应的二进制数字为1100。
这种转换方法的工作原理是什么呢？让我们再一次试着用同样的方法将12减半。这一次，我们将把所有的数字都基于二进制（当然，数字2在二进制里头是10）。
1100/10 = 110 余数 0
110/10 = 11 余数 0
11/10 = 1 余数 1
1/10 = 0 余数 1
将数字除以2然后再取其余数，最终我们所得到的就是基于二进制的数字。
关于数字12，到目前为止我们所得出的：
12 = 1100 (base 2)
= 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2 + 0*1
= 2^3 + 2^2
= 8 + 4
通过反复的对12减半，我们就可以将其分解成2的次方。
因式分解
我们现在来试着将12乘以13。一种方法是使用长式相乘：
13
* 12
----
26
+ 130
-----
156
注意我们通过将 2*13 和 10*13 相加来得出我们的最终结果。它的工作原理是因式分解：
12 * 13
= (2 + 10) * 13
= 2*13 + 10*13
当然，我们能将12分解成任何我们想要的形式，并且仍然能得到正确的答案。现在让我们用前面所做的工作来将这个题目分解成2的次方：
12 * 13
= (4 + 8) * 13
= (2^2 + 2^3) * 13
= 2^2 * 13 + 2^3 * 13
如果我们能将 13 乘以 2^2 和 2^3，那我们就完成了。
加倍
重复的将一个数字乘以2的次方。让我们试试将13加倍：
数字 累计相乘过程 2的次方
13 13 2^0
26 13*2 2^1
52 13*2*2 2^2
104 13*2*2*2 2^3
我们的图表告诉我们 2^2 * 13 + 2^3 * 13 = 52 + 104 = 156，所以 12 * 13 = 156，我们完成计算了。
把所有的一切放在一起
我们刚才通过重复的减半和相乘将12转成二进制模式，然后将其与13相乘。俄罗斯农民算法做得是同样的事情，但是它节省了很多的步骤，过程也更快。让我们结合我们加倍和减半的步骤来比较这两种方法的不同。
数字加倍 累计相乘过程 2的次方 数字减半 除以2 余数
13 13 2^0 12 12/2 = 6 0
26 13*2 2^1 6 6/2 = 3 0
52 13*2*2 2^2 3 3/2 = 1 1
104 13*2*2*2 2^3 1 1/2 = 0 1
加粗的列使用的是俄罗斯农民乘法。注意当余数列为0时，其所对应的俄罗斯乘法行要删去。
算法实现
算法公式
算法思想
回溯，位运算，分治
设计方法
先对输入的2个数判断正负，用一个flag去记录结果的正负。
通过位运算的 & 让m去和1做与运算，判断m的奇偶性，分奇偶性进行不同的处理。 用s记录运算的结果。因为不能用乘除法，所以用移位运算的左移1位相当乘以2，用移位运算的右移1位相当除以2。
复杂度
时间复杂度O(1)
空间复杂度O(1)
代码参考
PASCAL代码：
var n,m,sum,flag:longint; procedure change; begin flag:=0; if m<0 then begin flag:=1-flag; m:=0-m; end; if n<0 then begin flag:=1-flag; n:=0-n; end; sum:=0; end; //判断正负号 procedure farmer; var x:longint; begin while (m>=1) do begin if (m and 1=1) then begin sum:=sum+n; m:=(m-1) shr 1; n:=n shl 1; end else begin m:=m shr 1; n:=n shl 1; end; end; end; procedure printf; begin if flag<>0 then write('-'); write(sum); end; begin readln(n,m); change; farmer; printf; end.
C++代码：
#include<stdio.h> void main() { int m,n,s,flag; while(scanf("%d%d",&m,&n)==2) { flag=0; if(m<0) { flag=1-flag; m=0-m; } if(n<0) { flag=1-flag; n=0-n; } s=0; while(m>=1) { if(m&1==1) { s+=n; m=(m-1)>>1; n=n<<1; } else { m=m>>1; n=n<<1; } } if(flag==0) printf("%d ",s); else printf("-%d ",s); } }