一、关系的运算
笛卡尔积/直积A×B={(a , b) | a∈A且b∈B}，对于∩和∪都满足分配性。
A×B=B×A ⟺(A=∅)∨(B=∅)∨(A=B)
R⊆A×B，当(a , b)∈R时称a与b具有关系R，即xRy。A=B时R就是A上的一个二元关系。
例如集合幂集P(A)上的包含关系为P⊆={(x , y) | x∈P(A) ∧y∈P(A) ∧x⊆y}
A上的恒等关系IA={(a , a) | a∈A}，(a , b)∈IA当且仅当a=b
A上的全域关系EA={(a , b) | a , b∈A}，(a , b)∈EA恒成立
注意：关系是集合！对集合成立的运算对关系都成立，例如＜∩＞=∅，≤∩≥==
R的定义域（domain）为R中所有有序对第一元素构成的集合；值域（range）为所有有序对第二元素构成的集合
Dom(R-1)=Ran(R)，Dom(R)=Ran(R-1)
x的像集（image）为R(x)={y∈B | xRy}，子集A1的像集R(A1)={y∈B | xRy对某x∈A1成立}，R(∅)=∅
若R、S是A到B的二元关系，对任意a∈A都有像集R(a)=S(a)，那么R=S
证明：对任意(a ,b)∈R，b∈R(a)=S(a)，故(a ,b)∈S，
R在集合C上的限制R|C={(a , b) | a∈C且(a , b)∈R}
其中矩阵布尔积S○R的计算方法：Rik=1且Skj=1时，(S○R)ij=1。其运算与普通矩阵运算是完全一样的，只不过最后要将所有非0转换为1
(S○R)(A1)=S(R(A1))
二、幂和道路
设R为集合A上的关系
A上的关系Rn为：a, b∈A，则aRnb当且仅当存在R中从a到b长为n的道路
A上的关系R∞为：a, b∈A，则aR∞b当且仅当存在R中从a到b的道路
Rn可递归地定义为：
三、关系的性质
若|A|=n，则A上可定义：
（1）2n×n个不同的关系
（2）2n×n-n个不同的自反关系
（3）2n×n-n个不同的非自反关系
（4）2(n×n-n)/2+n个不同的对称关系
（5）3(n×n-n)/2个不同的非对称关系
（6）2n×3(n×n-n)/2个不同的反对称关系
四、闭包
关系闭包运算的性质
R⊆S时有r(R)⊆r(S)、s(R)⊆s(S)、t(R)⊆t(S)
s(R)和t(R)能保持自反性；r(R)和t(R)能保持对称性；r(R)能保持传递性，s(R)则不一定能保持
（1）rs(R)=r(R∪R-1)=IA∪(R∪R-1)=(R∪IA)∪(R-1∪IA-1)=(R∪IA)∪(R∪IA)-1=s(R∪IA)=sr(R)
（2）rt(R)=r(R∞)=R∞∪IA=(R∪IA)∞=t(R∪IA)=tr(R)
（3）st(R)⊆ts(R)，即传递闭包的对称闭包不一定还是传递的，如{(1, 3)}
证明：只需证明①ts(R)具有对称性、②t(R)⊆ts(R)
①的证明：s(R)具有对称性，t(R)能保持对称性，故ts(R)具有对称性
②的证明：R⊆ts(R)，ts(R)具有传递性，故t(R)⊆ts(R)
Warshall传递闭包算法
五、等价与划分
等价关系x~y：自反、对称、传递
R(a)称作a所在的等价类[a]、[a]R
集合{R(a) | a∈A}称作A关于R的商集，记作A/R（即R的所有等价类作为元素的集合)，a是R(a)的代表元
aRb，当且仅当R(a)=R(b)
R、S是等价关系时，R∩S一定是等价关系，R∪S则不一定，包含R∪S的最小等价关系是(R∪S)∞
证明：R∩S可以保持自反性、对称性、传递性，因此它是对称关系
R∪S可以保持自反性、对称性，但不一定能保持传递性
因此(R∪S)∞=t(R∪S)肯定也具有自反性、对称性作为R∪S的传递闭包显然也具有传递性 ，因此它是等价关系
对于任何包含R∪S的等价关系T，都是必定具有传递性的，而其中(R∪S)∞作为R∪S的传递闭包必定是最小的
六、偏序关系和偏序集
1.偏序关系
偏序关系：自反、反对称、传递。例如恒等关系IA是就是偏序关系
偏序集：集合A和偏序关系R构成的有序二元组(A , R)
R-1也是偏序关系，称为R的对偶；(A , R-1)称为(A , R)的对偶。
a、b可能可比（a≥b或a≤b），也可能不可比
如果对任意a, b∈A，它们都是可比的，则R称为全序关系/线序关系，(A , R)称为线序集、全序集、链
R-IA是拟序关系
2.拟序关系
拟序关系：非自反、传递、非对称
逆序集(A , ＜)中肯定不会存在大于1的圈
R+IA是偏序关系
3.哈斯图
（1）省略自环
（2）删除可通过传递性省略的有向边
（3）有向边均向上
（4）忽略箭头
（5）所有顶点替换为点
只能表示有限偏序集，例如P({a , b , c})上的⊆关系如图：
若(A , ≤)是有限非空偏序集，B⊆A
