离散数学知识点总结（4）-集合

集合完全由其元素决定，A=B ⟺ ∀x(x∈A ⟷x∈B)，因此要证A=B只需证A⊆且B⊆A

形如{x | P(x)}也未必是集合，例如罗素悖论R={x | x∉R}，若R为集合则R∈R ⟺ R∉R

超集：......

|A|=card(A)=#A=n：则集合A为n元集，显然有|∅|=0，|{∅}|=1

幂集P(A)：A的所有子集（包括∅和A自身）所组成的集合。

                若P(A)⊆P(B)则A⊆B。

               P(A)∩P(B)=P(A∩B)，P(A)∪P(B)≤P(A∪B)

A与B的对称差A⊕B：x∈A或x∈B（不同时成立）

广义交∩C={x | ∀S(S∈C →x∈S)}，即∩C是C中集合的交集

广义并∪C={x | ∃S(S∈C ∧x∈S)}，即∪C是C中元素的并集

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∪(A∩B)=A∩(A∪B)=A

德摩根

A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)          A=U时得到德摩根律的特殊形式

A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)

证明：首先证明A-(B∪C)⊆(A-B)∩(A-C)

任意x∈A-(B∪C)都有x∈A且x∉(B∪C)，即x∉B且x∉C，故x∈(A-B)且x∈(A-C)，x∈(A-B)∩(A-C)

然后证明(A-B)∩(A-C)⊆A-(B∪C)

任意x∈(A-B)∩(A-C)都有x∈(A-B)且x∈(A-C)，x∈A，x∉B且x∉C，故x∉(B∪C)，x∈A-(B∪C)

集合的等势

存在A到B的双射，就认为A≈B。

A≼·B：存在A到B的单射，称集合B优势于集合A。显然优势关系具有自反性、传递性、反对称性

A≺·B：集合B真优势于集合A。例如对任意集合S都有S≺·P(S)

N≈Z≈Q，基数为ℵ₀

若存在A到N的单射，则称A为可数集/可列集，card(A)≤ℵ₀

可列个可列集合的并集还是可列集合，因此Z×Z≈N×N≈N

而实数集并非可列集

对任何互异的a , b∈R和互异的c , d∈R，都有[a , b]≈[c , d]≈(a , b)≈(c , d)≈[0 , 1]≈(0 , 1)≈R，基数为ℵ

{0 , 1}A≈P(A)，故{0 , 1}N≈P(N)≈R