今天（2014.7.8）的报告中谈到了图的染色多项式。证明该结果是一个多项式是一个不错的练习。
数学中最常见最简单的关系是线性关系，这是线性代数学习的内容。
然后就属多项式关系，很多有限型问题都能得出多项式的表达式。这是一个经典例子。
一个图(G)是一个有限集合。它含有限个点，有限条边。
图(G)的一个染色，是把(G)的点染色，要求：若两个点之间有边相连，则这两个点染不同的色。
给定图(G)，(k)种颜色，总共的染色方法数记为(P_G(k)).求证：(P_G(k))是(k)的多项式。即存在多项式(f(k))使得(P_G(k)=f(k))。
提示：
1. 先算几个简单的图。
2. 给定图(G)，把它减掉一条边(e)，记为(G’=G-e);
把(e)的两个端点合并为一个点，同时删除边(e)，得到的图记为(G'')。
用(P_{G’}(k))， (P_{G’’}(k))表示(P_G(k))。
推导(P_G(k))和(P_{G’}(k))， (P_{G’’}(k))之间的递推关系。
3. 利用归纳法：由(P_{G’}(k))， (P_{G’’}(k))都是(k)的多项式推出(P_G(k))是(k)的多项式。
关于四色定理的Remark:
若(G’)是一个平面图，则它的对偶图(G)是这样一个图，(G’)把平面分成有限个区域，每个区域对应(G)的一个顶点，若两个区域有一个公共边，则在(G)的顶点之间连一条边。这样得到的图即为(G)。
四色定理说一定有一个四染色，即：在(P_G(k))中令(k=4),有(P_G(4)>0)。