l 并查集：(union-find sets)
一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。
l 并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：
1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合
初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。
2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合
查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图
3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合
合并两个不相交集合操作很简单：
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图
l 并查集的优化
1、Find_Set(x)时 路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？
答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。
2、Union(x,y)时 按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。
//每一个集合都是一棵树，集合的元素则为树的节点，每棵树都有一个独一无二的标志，那、、//就是树的根节点
//一般的标志是自己本身的下标 或者 为-1
int father[MAX]; //father[x]表示x的父节点
int sign[MAX]; //sign[x] 用来记录查找根节点时，途中所路过的节点，压缩路径的时候用到
int rank[MAX] //rank[x] 表示x节点所在树的深度
//初始化集合
void Make_Set(int x)
{
father[x] = x; //初始化一开始每个节点的父节点都为本身
rank[x] = 0; //初始化一开始每棵树的深度为
}
// 寻找x元素所在的集合也就是找子节点的根节点（树,若采用递归查找，回溯时压缩路径
int Find_Set(int x)
{
if(father[x] != x)
{
father[x] = Find_Set(father[x]); //这是一个递归的过程，回溯时压缩路径
}
return father[x];
}
void Union(int x,int y) //合并两个不相交的集合，x,y分别为两个不同的集合
{
x = Find_Set(x);
y = Find_Set(y);
if(x == y) return ; //若为同一集合，则直接返回
if(rank[x] > rank[y]) //如果x树的深度比y树深，y树接到x树
{
father[y] = x;
}
else if(rank[x] < rank[y])
{
father[x] = y;
}
else if(rank[x] ==rank[y]) //若两树的深度一样
{
father[x] = y; //则x树接到y树
rank[y]++; //此时y树的深度+1
}
}
#include <iostream>
using namespace std;
#define Max 65535
int a[100][100];
/************************************************************************/
/*利用Prim算法求一个无向连通图的最小生成树，
从顶点iBegin开始构造。*/
/************************************************************************/
int Prim(int closedge[], int n, int iBegin)
{
int i = 0;
int j = 0;
int iMin = 65535;
int iSumCost = 0;
int iCount = 0;
int t = 0;
//初始化辅助数组。
for (i = 0; i < n; i++)
{
closedge[i] = 0;
}
closedge[iBegin] = 1;
//找到构成最小生成树的n-1条边，并记录下它们的代价和。
while (iCount < n-1)
{
iMin = 65535;
for (i = 0; i < n; i++)
{
if (closedge[i] == 1)
{
for (j = 0; j < n; j++)
{
if (i != j && a[i][j] < iMin && closedge[j] == 0)
{
iMin = a[i][j];
t = j; //记录下该顶点。
}
}
}
}
iSumCost += iMin;
closedge[t] = 1; //将该顶点加入到已形成的集合中。
iCount++;
}
return iSumCost;
}
int main()
{
int i = 0;
int j = 0;
int k = 0;
int iCost = 0;
int n = 0;
int iVexNum = 0;
int closedge[100];
int iSumCost = 0;
//初始化邻接矩阵。
for (i = 0; i < n; i++)
{
for (j = 0; j < n; j++)
{
a[i][j] = Max;
}
}
//cout<<"Please input the n:"<<endl;
while(cin>>n && n)
{
iVexNum = n;
for (k = 0; k < n*(n-1)/2; k++)
{
scanf( "%d%d%d" , &i , &j , &iCost );
//cin>>i>>j>>iCost;
a[i-1][j-1] = a[j-1][i-1] = iCost;
}
iSumCost = Prim(closedge, iVexNum, 0 );
//cout<<"The minimum cost is:"<<endl;
cout<<iSumCost<<endl;
}
/*system("pause");*/
return 0;
}
//kruskal
#include <iostream>
#include <algorithm>
const int M=501;
using namespace std;
int n;
int ct=0;
int pre[M];
int graph[M][M];
struct edge
{
int u,v; //首末结点
int d; //边的费用
}e[125001];
bool comp(const edge &a,const edge &b)
{
return a.d<b.d;
}
int findanc(int x) //找祖先
{
while(x!=pre[x])
x=pre[x];
return x;
}
int kruskal()
{
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) //结点个数
pre[i]=i;
sort(e,e+ct,comp); //ct是边的个数
for(int i=0;i<ct;i++)
{
int f1=findanc(e[i].u);
int f2=findanc(e[i].v);
if(f1!=f2) //如果首末两端的祖先不同，也就说明一条边在s中一条边在v-s中
{
ans+=e[i].d;
pre[f1]=f2; //把u的祖先设为v，这样就把那个结点加入s中了
}
}
return ans;
}
//prim
#include <iostream>
#include <algorithm>
const int max_vertexes=501;
using namespace std;
int graph[max_vertexes][max_vertexes];
int n;
void prim(int vcount)//传入邻接矩阵大小
{
int i,j,k,sum,father[500],min,max=0;
int lowcost[max_vertexes],closeset[max_vertexes],used[max_vertexes];
for (i=0;i<vcount;i++)
{
lowcost[i]=graph[0][i];//保存到达任何节点的最短路径
closeset[i]=0; //最近的节点
used[i]=0;//保存使用过的顶点
father[i]=-1;//父节点
}
used[0]=1;
j=0;
sum=0;
for (i=1;i<vcount;i++)
{
min=100000;
for (k=0;k<vcount;k++)
{
if ((used[k]==0)&&(lowcost[k]!=0)&&(min>lowcost[k]))
{//没被用过，通路，是最短通路
j=k;//如果k没被使用过 且 最短 让j=k
min=lowcost[j];
}
}
if (lowcost[j]>max) max=lowcost[j];
sum+=lowcost[j];
father[j]=closeset[j];//连到最小生成树上
used[j]=1;//第j个被用过
//完成一个节点
for (k=0;k<vcount;k++)//开始以j节点为开始，找最短路径
{
if (used[k]==0&&(graph[j][k]!=0))
{//没用过，是通路
if (lowcost[k]==0||(graph[j][k]<lowcost[k]))//k没被设置最小通路 或者 是连到下个节点的最短路径
{//lowcost是0的时候没考虑很可怕！！！！！
lowcost[k]=graph[j][k];//更新最近的节点
closeset[k]=j;//新更新的节点的父亲是j
}
}
}
}
for (j=0;j<vcount;j++) cout<<father[j]<<endl;//父节点
cout<<sum<<endl;//总长度
cout<<max<<endl;//最长边
}