视觉SLAM中的李群&李代数基础

前言

在做SLAM研究的时候，会涉及到对旋转矩阵求导的问题。这时候需要使用矩阵李群的知识，将旋转或者变换等矩阵李群形式，映射到李代数上求解。本文主要涉及两个特殊矩阵李群：特殊正交群（special orthogonal group）SO(3)，表示旋转；特殊欧几里得群（special Euclidean group）SE(3)，表示位姿。

1 群的定义

群（Group）是一个集合加上一种运算所构成的代数结构。该运算将两个元素a和b组成另外一个元素，记为a·b或者ab。记集合为G，运算为· ，则当满足一下四个性质的时候，称(G, •)为一个群。

（1）封闭性（closure）：任意a，b属于G，有a·b仍然属于G;

（2）结合性（associativity）：任意a，b，c属于G，有(a·b)·c = a·(b·c);

（3）单位元（幺元）（identity）：存在a₀属于G，对任意b属于G，均有a₀·b = b·a₀= b;

（4）逆元（invertibility）：任意a属于G，存在a^-1属于G，使得a·a^-1= a₀ 。

2 特殊正交群和特殊欧几里得群

特殊正交群：

特殊欧几里得群：

 

李群：

•    李群是一个微分流形，群上的操作是光滑的。

•    矩阵李群的元素是矩阵，群上的运算是矩阵乘法，元素的逆即矩阵的逆。

•    SO(3)和SE(3)都是李群，但是只对乘法封闭，对加法不封闭，不适合做微分、求导运算。

3 李代数

3.1 李代数定义

对于任意一个李群，都存在一个李代数与之对应。李代数是一种位于向量空间的代数结构。李代数包含一个集合V，一个数域F和一个二元运算[ , ]。如果它们满足一下四条性质（封闭性、双线性、自反性、雅克比等价），就称(V, F, [ , ]) 为一个李代数。

（1）封闭性（closure）：[X, Y]属于V,

（2）双线性（bilinearity）：[aX+bY,Z] = a[X,Z]+b[Y,Z], [Z, aX+bY]= a[Z,X]+b[Z,Y],

（3）自反性（alternating）：[X, X] =0,

（4）雅克比等价（Jacobi identity）：[X, [Y,Z]] + [Z, [X,Y]] +[Y, [Z,X]] =0

3.2 李代数的引出过程

3.3  旋转和变换的李代数so(3)和se(3)

与SO(3)对应的李代数是so(3)：

与SE(3)对应的李代数是se(3):

4 指数映射和对数映射

4.1 指数映射

指数映射是从李代数映射到李群的一种方式。

为了定义矩阵指数运算，需要用到泰勒展开式。

令，关于有如下性质：

关于 进行泰勒展开：

即罗德里格斯公式。这说明so(3)的物理意义就是旋转向量。

对于se(3)和SE(3)，也能得到类似的指数映射关系。

4.2 对数映射

同理，给定旋转矩阵（李群元素），也能求出对应的李代数。

实际中可以采用下面的公式来求解。

小结

本文的内容参考了《state estimation for robotics》，以及高博（半闲居士）的SLAM公开课，如有错误，敬请指正。