Hidden Markov Model (HMM)
以前语音识别用的是统计模型，而现在，深度学习的方法有很多思想也还是借鉴的HMM。
X是输入语音序列，Y是输出文字，我们的目标是穷举所有可能的Y，找到一个(Y*)使得(P(Y|X))最大化。这个过程叫作解码。
根据贝叶斯定律，我们可以把它变成(frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)})。
由于P(X)与我们的解码任务是无关的，因为不会随着Y变化而变化，所以我们只需要算argmaxP(X|Y)P(Y)。
前面这项P(X|Y)是Acoustic Model，HMM可以建模，后面那项P(Y)是Language Model，有很多种建模方式。
音标、字或词，这些单位，对HMM的隐变量来说，都太大了。所以我们需要为P(X|Y)建模，变成为P(X|S)建模。S为状态，是人定义的。它是比音素Phoneme还要小的单位。
序列中的每一个音素，都会受到前后音素单位的影响。我们会用一个Tri-phone，把当前的每一个音素，都加上它前后的音素，相当于把原来的音素切得更细。
这样d后面的uw，和y后面的uw表达出来就会是不同的单位了。
假设我们有一段声音信号X，它内容包含了一系列特征向量。我们会先从Start状态转移到第一个状态，发射出一些向量，再到第二个状态，发射出一些向量……以此类推，直至走到END状态。
一个状态有两种概率，一种是转移概率，如P(b|a)，即当前状态转移到其它状态或不转移状态的概率，
另一种是发射概率，如P(x|"t-d+uw1")，即该状态发射出某个样子的声学特征向量的概率。
假设每一个状态，它产生出来的声学特征向量有一个固定的分布。我们可以用高斯混合模型GMM来表示这个概率。
这便是为什么我们要用比Phoneme还要小的单位来表示状态。因为我们要假设每个状态发射出来的分布稳定。
为什么我们不用字符单位来当作状态呢？比如，c这个字母它的发音不是固定的，它在很多时候是发"ke"，但它在h后面就发音"ch"。这样就不适合拿来当作HMM的状态。
不过，很多的State在训练中只出现一两次，根本就估计不准它的高斯混合分布。所以过去有个关键性的技术叫作Tied-state。
它假设某些State的发音就是一样的，所以可以共用同样的高斯混合分布，来减少使用的高斯混合模型的数量。这就好比你有两个命名不一样的指针，都指向了同样的内存。
这个方法在经过很多年很多年的研究之后，就产生了一个终极形态Subspace GMM。所有的State都共用同一个高斯混合模型。
它有一个池子，里面有很多高斯分布。每一个State，就好比是一个网子，它去这个池子中捞几个高斯分布出来，当作自己要发射的高斯混合分布。
所以每个State既有不同的高斯分布，又有相同的高斯分布。
（这篇是来自ICASSP 2010年的论文。有趣的是，Hinton在同年也在该论坛上发表了一篇关于深度学习的ASR的论文。但当时大家的注意力都在前一篇论文上，Hinton的研究并没有受到很多重视。原因在，它的表现当时不如SOTA。）
假设我们已经用给定好的数据算好了发射概率和转移概率，但我们还是算不出P(X|S)的概率。这关键技术在Alignment。
我们需要知道哪一个声学特征，是由哪一个状态产生的，才有办法用发射概率和转移概率去计算P(X|S)。
给定的候选对齐状态不同，算出来产生的声学特征的概率也就会不一样。我们就需要穷举所有可能，找到它产生与观测X的声学特征概率最大，最一致的对齐方式。
在HMM中如何使用深度学习
方法1：Tandem（串联）
之前的声学特征是MFCC格式，深度学习方法输入一个MFCC，预测它属于哪个状态的概率。
接着我们把HMM的输入，原为声学特征，由深度学习的输出取代掉。我们也可以取最后一个隐层或者是瓶颈层(bottleneck)。
方法2：DNN-HMM Hybrid（混合模型）
HMM中有一个高斯混合模型。我们想把它用DNN取代掉。
高斯混合模型是给定一个状态，预测声学特征向量的分布，即P(x|a)。
而DNN是训练一个State的分类器，计算给定一个声学特征下，它是某个状态的概率，即P(a|x)。
用贝叶斯定律，可以得到(P(x|a) = frac{P(a|x)P(x)}{P(a)})。
P(a)可以通过在训练资料中统计得到。P(x)可以忽略。
有人会觉得这个混合模型的厉害之处在把生成模型HMM中加入了判别模型。这个很早就有人做了，没什么稀奇。
也有人觉得他厉害之处在于用有更多参数的深度神经网络替换了GMM。但这小看了参数量大起来时GMM的表征能力。
实际上，这篇论文的贡献在，它让所有的给定观测，计算当前可能状态概率，都共用了一个模型。而不是像GMM那样，有很多不同的模型。
所以它是一个非常厉害的状态标注的方法。DNN可以是任何神经网络，比如CNN或者LSTM。
我们要如何训练一个状态分类器呢？
它的输入是一个声学特征，输出是它是某个状态的概率。
我们训练这个之前，需要知道每个声学特征和状态之间的对应关系。但实际中的标注数据都是没对齐的。
过去的做法是训练一个HMM-GMM，那这个粗糙的模型去做找出一个概率最大的对齐。然后再根据声学特征与状态之间的对齐数据，去训练状态分类器。
接着，我们再拿这个训练好的状态分类器，替换掉原来的HMM-GMM，再对数据对齐，来训练出一个更好的状态分类器。
我们反复重复这个过程。用训练得到的DNN去对数据做对齐，再用对齐的数据去训练一个新的DNN。
这个方法很强。微软在2016年的时候，让语音识别超过了人类水平。实际生产中，因为要考虑到推断速度，端对端的深度学习模型并不多，除了谷歌的手机助理。大部分都是混合模型。
语音识别的公认错误率指标大概在5%左右，就已经很强了。专业听写人员就在这个水平。
模型能达到5%算是极限了，因为正确答案也是人标注的，也存在5%左右的错误率。再往上提升，学到的只可能是错误信息。
在微软的文献中，他们训练了一个49层的残差神经网络。输出有9000个状态类别，输出是一个向量，用的是Softmax作归一化。
