网络流（平面图转对偶图）

https://zybuluo.com/ysner/note/1098815

标签（空格分隔）： 网络流 最短路

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知识点

这玩意儿大致的思路如下：
1.将源点到汇点中再补一条不与任何线段有交点的边（分界线）。这条边把外侧无限大的区域划分为了两部分，一部分为S面，另外一部分为T面。（其实把那两个面当成两个点就成了）
2.平面图的任何一条边一定只与两个面相连，将这两个边相连，权值为边的边权
此时S−>T的最短路就是原来平面图中的最小割。

伪证如下：（感性yy一下即可）
如果在对偶图上走了一条边，必定将原图中的一条边给割开
考虑一条S−>T的路径，
一定沿着S平面割开了若干平面，使得S平面与T平面相连
因此，一条路径是原图中的一个割
割的大小就是路径的长度
因此，最小割就是对偶图上的最短路（用最小的代价把一个图分成两半）

例题

T1[BZOJ1001]狼抓兔子

建边过程如下:

   fp(i,1,n)
    {
      fp(j,1,m-1)
      {
        re int u=S,v=T,w=gi();
        if(i!=1) v=id[ysn-1][j];//啥，没到上界,可以向上界yy？
        if(i!=n) u=id[ysn][j];//啥，没到下界，不是起点的地盘?
        add(u,v,w);add(v,u,w);
      }
      ysn+=2;
    }ysn=1;
  fp(i,1,n-1)
    {
      fp(j,1,m)
      {
     re int u=S,v=T,w=gi();
         if(j!=1) u=id[ysn][j-1];//啥，没到左界，不是起点的范围？
     if(j!=m) v=id[ysn+1][j];//啥，不是终点的范围？
     add(u,v,w);add(v,u,w);
      }
      ysn+=2;
    }ysn=1;
  fp(i,1,n-1)
    {
      fp(j,1,m-1)
    {
      re int u=id[ysn][j],v=id[ysn+1][j],w=gi();
      add(u,v,w);add(v,u,w);//不会越界，无需讨论
    }
      ysn+=2;
    }

就是把知识点那块模拟一遍。

T2[NOI2010]海拔

平面图求最小割

  S=0,T=tot+1;
  fp(i,0,n+1) id[i][0]=S,id[i][n+1]=T;
  fp(i,0,n+1) id[0][i]=T,id[n+1][i]=S;
  fp(i,1,n+1)
    fp(j,1,n)
    add(id[i][j],id[i-1][j],gi());
  fp(i,1,n)
    fp(j,1,n+1)
    add(id[i][j-1],id[i][j],gi());
  fp(i,1,n+1)
    fp(j,1,n)
    add(id[i-1][j],id[i][j],gi());
  fp(i,1,n)
    fp(j,1,n+1)
    add(id[i][j],id[i][j-1],gi());
}

注意一下第一题那个建边方式可以简化，即把边界条件赋为超级点。
还有，割开一条边的方向随意。