数论初步

https://zybuluo.com/ysner/note/1109102

逆元求解

费马小定理

假如a是一个整数，b是一个素数，(gcd(a,p)=1),则
(a^{p-1}equiv1(mod(p)))
应用：

• 降次：(a^bmod(p)=a^{(b)mod (p)}mod(p))
• 质数逆元：(frac{1}{a}mod (p)=a^(p-2)mod(p))

欧拉定理

若(n,a)为正整数，且(n,a)互质，则
(a^{phi(n)}equiv 1(mod(n)))
费马小定理是欧拉定理的特殊情况，因为(n)为素数时，(phi(n)=n-1)。
拓欧降次：

• 当(n>1)时,(a^b\%n=a^{b\%phi(n)}\%n)
• 当(bleqphi(n))时，暴算
• 当(b>phi(n))时，(a^b\%n=a^{b\%phi(n)}\%n)
  拓欧解方程
• 求解(aequiv 1(mod(q)),x>0)
  则x解集为(phi(q))的约数与倍数。

实践

给定(a,p(p>1),gcd(a,p)=1),求(a)在模(p)意义下的逆元。

• 用Exgcd解方程(axequiv 1(mod(p)))
  即(ax+by=1)

int exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b) x=1,y=0,d=a;
    else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=x*(a/b);
}
{
  re int a;
  exgcd(i,p,g,x,y);
  while(x<0)    x+=p;
  printf("%d
",x);
}

• 利用欧拉定理(a^{phi(n)}equiv1(mod(n)))
  有式(a^{-1}equiv a^{phi(n)-1}(mod(n)))
• n为质数时，费马小定理
  (a^{-1}equiv a^{n-2}(mod(n)))
• 线性求解
  (inv[i]=(p-p/i)*inv[p\%i])

矩阵乘法

struct matrix{
    int a[100][100];
    matrix()
    {
      memset(a,0,sizeof(a));
    }
    int * operator [](int x)
    {
        return a[x];
    }
    matrix operator *(matrix b)
    {
        matrix c;
        for(int i=0;i<l;i++)
        for(int j=0;j<l;j++)
        for(int k=0;k<l;k++)
        c[i][k]=(c[i][k]+1ll*a[i][j]*b[j][k])%w;
        return c;
    }
}S,T;

高斯消元

[专题总结][1]

组合数学

不可重组合数学（留坑）

• (C^n_m)表示在(m)中选(n)个的方案数。（把(m)个无区别物品放到(n)个有区别篮子的方案数)
  (C^m_n=frac{n!}{m!(n-m)!})
  (C^m_n=C_{n-1}^{m-1}+C^m_{n-1})
  (C^k_n=C^{n-k}_n)
  (C^{k+1}_n=C^k_n*frac{n-k}{k+1})

[(a+b)^n=sum^n_{k=0}C_n^k a^{n-k} b^k ]

• (P^n_m)表示在(m)中选(n)个的排列数。（把(m)个有区别物品放到(n)个有区别篮子的方案数）
  (P_m^n=C_m^n*n!)
• (S^n_m)表示斯特林数。（把(m)个有区别物品放到(n)个无区别篮子，且篮子不空的方案数）
  (S_m^n=S_m^{n-1}*m+S_{m-1}^{n-1})
  (S_m^n=0(m>n))

可重组合数学

可重排列

有(k)个元素，其中第(i)个元素有(n_i)个，求全排列数。
(P'=frac{(sum_{i=1}^k n_i)!}{n_i!n_2!...n_k!})
即先全排列，然后给每个元素编号。

可重组合

有(k)个元素，每个元素可选无穷多个,一共选(k)个，求方案数。
(C'=C_{k-n+1}^{n-1}=C_{k-n+1}^k)
假如第(i)个元素选(x_i)个，那么原问题变为(x_1+x_2+...+x_n=k)。
令(y_i=x_i+1),那么(y_1+y_2+y_3+...+y_n=k+n)
此时(y>0),即每个元素都要选。所以等于在(k+n)个元素((k+n-1)个空位)间放(n-1)个隔板。

卡特兰数

前几个数：(1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 1767263190)
好像我只会用它打表找规律
公式:
(C'[n]=frac{C_{2n}^n}{n+1})
(C'[n]=sum_{i=1}^{n-1} C'^iC'^{n-i})
应用：

• 一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
• n个节点构成的二叉树，共有多少种情形？
• 求一个凸多边形区域划分成三角形区域的方法数？
• 在圆上选择2n个点，将这些点成对链接起来使得所得到的n条线段不相交，一共有多少种方法？
• n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数.
• n层的阶梯切割为n个矩形的切法数。
  [1]: http://www.cnblogs.com/yanshannan/p/8805546.html