[ZJOI2009]染色游戏

https://www.zybuluo.com/ysner/note/1232377

题面

一个(n*m)的长方形上，每个格子上有一硬币。每次需选一联通块并全部翻面，前提是其右下角硬币必须初始为反面。双方轮流行动，问先手是否有必胜策略。

• (n,mleq50)

解析

这是一个二维翻硬币问题。

先从一维说起。
一维翻硬币问题有个结论：局面的SG值等于局面中所有反面朝上的硬币单独存在时的SG值的异或和。

于是试着算一下：（其实我就是想试试怎么算(SG)值）
设(x)表示第(x)个硬币单独反面向上的情况。
据((mex)表示取括号内不包含的 最小非负整数）$$SG(x)=mex_{0leq i<x}(igotimes_{j=1}^iSG(j))$$
则(SG(0)=0)

(SG(1)=1)，因操作后状态((1,0,0,0))可转移到状态((0,0,0,0));

(SG(2)=2)，因操作后状态((0,1,0,0))可转移到状态((0,0,0,0))和状态((1,0,0,0))，

(mex(0,SG(1))=1);

(SG(3)=1)，因操作后状态((0,0,1,0))可转移到状态((0,0,0,0))、状态((0,1,0,0))和状态((1,1,0,0))（这个状态可由(x=1)状态异或(x=2)状态产生），

(mex(0,SG(1),SG(1)igotimes SG(2))=2);

(SG(4)=4)，因操作后状态((0,0,0,1))可转移到状态((0,0,0,0))、状态((0,0,1,0))和状态((0,1,1,0))和((1,1,1,0))，

(mex(0,SG(1),SG(1)igotimes SG(2),SG(1)igotimes SG(2)igotimes SG(3))=4);

同理，(SG(5)=4)。
发现规律，(SG(x)=lowbit(x))（相当于只保留最高位）。

同理，可以试着算二维状态的(SG)值，方法与上类似，懒得打过程了。（矩阵转动后(SG)值不变）

于是得到规律：
当(i==1||j==1)时，(SG(i,j)=lowbit(i+j-1);)
除此之外，(SG(i,j)=2^{i+j-2})。

爆(long long)随便用(bool)存下各位是否为(1)就好了。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=205,mod=2017;
int n,m,mp[2000],ans;
bool vis[N];
il ll gi()
{
  re ll x=0,t=1;
  re char ch=getchar();
  while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
  if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*t;
}
il int SG(re int x,re int y)
{
  if(x==1||y==1) return mp[(x+y-1)&(-x-y+1)];
  else return x+y-2;
}
int main()
{
  ios::sync_with_stdio(false);
  re int T;cin>>T;
  fp(i,1,10) mp[1<<i]=i;
  while(T--)
    {
      memset(vis,0,sizeof(vis));
      cin>>n>>m;
      fp(i,1,n) fp(j,1,m)
    {
      re char c;cin>>c;
      if(c=='T') vis[SG(i,j)]^=1;
    }
      re int tag=0;
      fq(i,n+m-1,0) if(vis[i]) {tag=1;break;}
      puts(tag?"-_-":"=_=");
    }
  
  return 0;
}