在美妙的数学王国中畅游

https://www.zybuluo.com/ysner/note/1242005

题面

数学王国有(n)座城市（森林状），每个城市有三个参数(f,a,b)，当一个智商为(x)的人经过会得到(f(x))的收益。

• (f=1,f(x)=sin(ax+b))
• (f=2,f(x)=e^{ax+b})
• (f=3,f(x)=ax+b)

有(m)个事件，分为(4)类：
1、建边
2、断边
3、修改一个城市的参数
4、询问一个智商为(x)的人，判断是否联通，若联通则答从(u)到(v)的收益和。

（除最下一档，各档分互不包含）

• (5pts nleq100,mleq200)
• (20pts) 不存在(2)操作，(u=v-1)，(x=1)
• (5pts)　不存在(2)操作，(x=1)
• (10pts)　(x=1)
• (30pts)　不存在(2)操作，(u=v-1)
• (100pts) (nleq10^5,mleq2*10^5)

解析

“删边”这操作钦定使用(LCT)。于是一只不会lct的蒟蒻就gg啦
没有人像我一样在计算器上二分出(e=2.718281828)的吧。

(5pts)算法

我们可以用邻接矩阵维护一条边有没有被删掉。
暴力修改。
询问收益就从(u)出发对全图(dfs)。
复杂度(O(mn^2))

(5+20pts)算法

不需要删边，判连通性就可以并查集了。

(x=1)代表可以(O(n))预处理出每个城市收益。
询问就是问一条链上的区间和。
用树状数组维护前缀和即可做到(O(logn))查询与修改。
总复杂度(O(qlogn))

il void BL2()
{
  fp(i,1,n) ff[i]=i;
  fp(i,1,n)
    {
      if(f[i]==1) w[i]=sin(a[i]+b[i]);
      if(f[i]==2) w[i]=pow(E,a[i]+b[i]);
      if(f[i]==3) w[i]=a[i]+b[i];
      Add(i,w[i]);
    }
  while(m--)
    {
      cin>>op;re int u,v;
      if(op[0]=='a')
	{
	  cin>>u>>v;++u;++v;
          ff[find(v)]=find(u);
	}
      if(op[0]=='m')
	{
	  cin>>u;++u;cin>>f[u]>>a[u]>>b[u];
	  re double las=w[u];
	  if(f[u]==1) w[u]=sin(a[u]+b[u]);
          if(f[u]==2) w[u]=pow(E,a[u]+b[u]);
          if(f[u]==3) w[u]=a[u]+b[u];
	  Add(u,w[u]-las);
	}
      if(op[0]=='t')
	{
	  cin>>u>>v>>x;++u;++v;if(u>v) swap(u,v);
	  if(find(u)!=find(v)) puts("unreachable");
	  else printf("%.9Lf
",Query(v)-Query(u-1));
	}
    }
}

(5+20+5pts)算法

这是个森林，不太好搞出(dfs)序,于是应该只能上(LCT)。

(5+20+5+10)算法

怕是(LCT)模板。

(5+20+30)算法

注意到题目最下方有一个奇奇怪怪的公式。
那个玩意儿能够方便地近似将(f(x_0))转化为(f(x))。

题目中(x=1)这一条件显然能给我们以启迪。
如果我们一开始预处理所有的(f(0))，我们在询问时就可以先得到(sum f(0))，再在常数时间内将(sum f(0))转化为答案(sum f(x))。

但是对一个不会求导的高一学生就很伤了：

[(a^x)'=a^x*ln a$$$$(e^x)'=e^x$$$$(a+b)'=a'+b'$$$$(ab)'=ab'+a'b$$$$(x^a)'=ax^{a-1}$$$$b'=0$$($b$为常数） $$(sin x)'=cos x$$$$(cos x)'=-sin x$$$$(-sin x)'=-cos x$$$$(-cos x)'=sin x]

（周期！）
对复合函数：$$[f(g(x))]'=g(x)'*f(g(x))'$$
代入这道题
对三角函数：

[sin'(ax+b)=asin(ax+b)$$$$sin''(ax+b)=-a^2sin(ax+b)$$$$sin'''(ax+b)=-a^3sin(ax+b) ]

对自然对数幂次方：$$(e^{ax+b})'=(ax+b)'(e^{ax+b})'$$$$=((ax)'+b')e^{ax+b}$$$$=a*e^{ax+b}$$
则$$(e^{ax+b})^{(n)}=a^ne^{ax+b}$$((n))代表(n)阶导数。
对一次函数：$$(ax+b)'=(ax)'+b'=ax'+a'x=a$$

于是代入公式即可得解。

(100pts)算法

用(LCT)维护信息。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define M 15
#define eps 1e-12
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=5e5+100;
const double E=2.718281828;
int n,m,f[N],ff[N],t[N][2],st[N];
bool r[N];
double a[N],b[N],ans,x,sum[20][N],jc[N],ssin[N],ccos[N];
char c[10],op[20];
il int gi()
{
  re int x=0,t=1;
  re char ch=getchar();
  while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
  if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*t;
}
il double Sin(re int u,re double x)
{
  if(ssin[u]>-eps&&ssin[u]<eps) return ssin[u]=sin(x);
  else return ssin[u];
}
il double Cos(re int u,re double x)
{
  if(ccos[u]>-eps&&ccos[u]<eps) return ccos[u]=cos(x);
  else return ccos[u];
}
il bool isrt(re int u){return t[f[u]][0]==u||t[f[u]][1]==u;}
il void pushup(re int u)
{
  fp(i,0,M) sum[i][u]=sum[i][t[u][0]]+sum[i][t[u][1]];
  if(ff[u]==1)
    {
      double tmp=1;
      fp(i,0,M)
	{
	  if(i%4==0) sum[i][u]+=Sin(u,b[u])*tmp;
	  if(i%4==1) sum[i][u]+=Cos(u,b[u])*tmp;
	  if(i%4==2) sum[i][u]+=-Sin(u,b[u])*tmp;
	  if(i%4==3) sum[i][u]+=-Cos(u,b[u])*tmp;
	  tmp*=a[u];
	}
    }
  if(ff[u]==2)
    {
      double w=pow(E,b[u]);sum[0][u]+=w;
      fp(i,1,M) w*=a[u],sum[i][u]+=w;
    }
  if(ff[u]==3)
    sum[0][u]+=b[u],sum[1][u]+=a[u];
}
il void pushr(re int u)
{
  swap(t[u][0],t[u][1]);r[u]^=1;
}
il void pushdown(re int u)
{
  if(r[u])
    {
      if(t[u][0]) pushr(t[u][0]);if(t[u][1]) pushr(t[u][1]);
      r[u]=0;
    }
}
il void rotate(re int x)
{
  re int y=f[x],z=f[y],k=t[y][1]==x,v=t[x][!k];
  if(isrt(y)) t[z][t[z][1]==y]=x;t[x][!k]=y;t[y][k]=v;
  if(v) f[v]=y;f[y]=x;f[x]=z;
  pushup(y);
}
il void splay(re int u)
{
  re int v=u,top=0;
  st[++top]=v;
  while(isrt(v))  st[++top]=v=f[v];
  while(top) pushdown(st[top--]);
  while(isrt(u))
    {
      v=f[u];top=f[v];
      if(isrt(v)) rotate((t[v][0]==u)^(t[top][0]==v)?v:u);
      rotate(u);
    }
  pushup(u);
}
il void access(re int u)
{
  for(re int v=0;u;u=f[v=u])
    {
      splay(u),t[u][1]=v,pushup(u);
    }
}
il void makert(re int u)
{
  access(u);splay(u);pushr(u);
}
il int findrt(re int u)
{
  access(u);splay(u);while(t[u][0]) pushup(u),u=t[u][0];//
  return u;
}
il void split(re int u,re int v)
{
  makert(u);access(v);splay(v);
}
il void link(re int u,re int v)
{
  makert(u);
  if(findrt(v)!=u) f[u]=v;
}
il void cut(re int u,re int v)
{
  split(u,v);//
  f[u]=t[v][0]=0;pushup(v);
}
int main()
{
  freopen("math.in","r",stdin);
  freopen("math.out","w",stdout);
  ios::sync_with_stdio(false);
  jc[0]=1;
  fp(i,1,M) jc[i]=jc[i-1]*i;
  cin>>n>>m>>c;
  fp(i,1,n) cin>>ff[i]>>a[i]>>b[i];
  while(m--)
    {
      re int u,v,w;
      cin>>op;
      if(op[0]=='a') cin>>u>>v,++u,++v,link(u,v);
      if(op[0]=='d') cin>>u>>v,++u,++v,cut(u,v);
      if(op[0]=='m') cin>>u,++u,makert(u),cin>>ff[u]>>a[u]>>b[u],ssin[u]=0,ccos[u]=0,pushup(u);
      if(op[0]=='t')
	{
	  cin>>u>>v>>x;++u;++v;re double  tmp=1;
	  if(findrt(u)^findrt(v)) {puts("unreachable");continue;}
	  split(u,v);ans=0;
	  fp(i,0,M) ans+=sum[i][v]*tmp/jc[i],tmp*=x;
	  printf("%.8e
",ans);
	}
    }
  return 0;
}