min-max容斥小结

https://www.zybuluo.com/ysner/note/1248287

定义

对于一个集合(S)，
(min(S))表示其第一个出现的元素（(or)最小的元素），
(max(S))表示其最后一个出现的元素（(or)最大的元素）。

设(E(x))表示元素(x)的期望出现次数（出现时是第几次）。
则有一个不可言妙的公式$$E(max(S))=sum_{S'in S}E(min(S'))*(-1)^{|S'|+1}$$
至于证明。。。蒟蒻这辈子都不可能会的，挂个证明的链接

用途

• 对于一个集合(S)，给出每个元素出现的概率，我们需要求每一个元素都出现至少一次的期望次数（即(max(S))）时，可使用(min-max)容斥。

题目

• [X] [HDU4336]Card Collector
  （太板了，不写题解）
• [X] [PKUWC2018]随机游走
  题解