关于最短路

最短路啊， 真是个好东西

例  : 洛谷p3371 p4779 

1.floyed算法

时间复杂度：O(n^3)

利用动态规划的思想每次枚举中转点来更新最短路

便于理解代码简洁。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 5055;
int mp[N][N], n, m, t;
void floyed() {
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            for(int k = 1; k <= n; k++)
                if(i != j && mp[i][j] > mp[i][k] + mp[k][j])
                    mp[i][j] = mp[i][k] + mp[k][j];
}
int main () {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &t);
    memset(mp, 0x3f3f3f3f, sizeof(mp));
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y, z;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
        mp[x][y] = mp[y][x] = z;
    }
    floyed();
    while(t--) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            if(mp[x][i] != 0x3f3f3f3f)
                printf("%d ", mp[x][i]);
                else printf("0 ");
        printf("
");
    }
    return 0;
}

2.dijkstra算法

参考博客

时间复杂度： O(n^2);加入堆优化之后是O((n + m)logn);

不能处理负边

是利用贪心的思想， 把所有的点分为两类第一类是已经计算好最短路的白点， 另一类是未计算好的蓝点， 然后每次寻找一个dis值最小的蓝点， 把她变为白点，然后再用她来更新与她相连的边，重复此过程直至所有的边都已经确定好答案， 即全部点变为白点。

未加堆优化的朴素代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 500007;
int head[N], cnt, n, m, s;
long long dis[N];
bool vis[N];
struct node {
    int next, to;
    long long w;
}e[N];
void add(int x, int y, long long z) {
    e[++cnt].next = head[x];
    e[cnt].to = y;
    e[cnt].w = z;
    head[x] = cnt;
} 
void dijkstra(int s) {
    for(int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = 2147483647; 
    dis[s] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int k = 1, maxn = 2147483647;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if(!vis[j] && dis[j] <= maxn)
                k = j, maxn = dis[j];
        vis[k] = 1;
        for(int j = head[k]; j; j = e[j].next) 
            if(dis[e[j].to] > dis[k] + e[j].w)
                dis[e[j].to] = dis[k] + e[j].w;
    }
}
int main () {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y;
        long long z;
        scanf("%d%d%lld", &x, &y, &z);
        add(x, y, z);
    }
    dijkstra(s);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%lld ", dis[i]);
    return 0;
}

加入堆优化的代码：

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010001;
int n, m, s, cnt, head[N], dis[N];
bool vis[N];
struct node{
    int next, to, w;
}e[N];
int read() {
    int s = 0, w = 1;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch == '-') w = -1;ch = getchar();}
    while(isdigit(ch)){s = s * 10 + ch - '0';ch = getchar();}
    return s * w;
}
void add(int x, int y, int z) {
    e[++cnt].next = head[x];
    e[cnt].to = y;
    e[cnt].w = z;
    head[x] = cnt;
}
struct Node {
    int u, v;
    bool operator<(const Node &b) const {
        return u > b.u;
    }
};
void dijikstra(int s) {
    priority_queue <Node> q;
    memset(dis, 0x3f3f3f3f, sizeof(dis));
    dis[s] = 0;
    Node o;
    o.u = 0;
    o.v = s;
    q.push(o);
    while(!q.empty()) {
        int u = q.top().v;
        int d = q.top().u;
        q.pop();
        if(d != dis[u])continue;
        for(int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
            int v = e[i].to;
            int w = e[i].w;
            if(dis[v] > dis[u] + w) {
                dis[v] = dis[u] + w;
                Node p;
                p.u = dis[v], p.v = v;
                q.push(p);
            }
        }
    }
}
int main () {
    n = read();
    m = read();
    s = read();
    while(m--) {
        int x, y, z;
        x = read();
        y = read();
        z = read();
        add (x, y, z);
    }
    dijikstra(s);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%d ", dis[i]);
    return 0; 
}

我太笨了， 关于重载运算符那里， 死活搞不明白， 生生把一枚可爱的学长：此处省略一千字

所以现在大概是明白了就是比较自身与u的大小就和之前写的cmp函数差不多

3.spfa算法

时间复杂度是O(nm) = O(ke)为平均入队次数， 一般不会超过2

很容易被卡， 我也不知道为什么，所以慎用

读取队头并将与其相连的点更新最小值， 对于与其相邻的点， 若是还没有在队列中则让其入队， 循环直至队列为空

但是弱化版并没有卡spfa

 

另外

spfa还可以用来判断负环， 若一个点入队超过n次即有负环。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define N 500005
#define inf 2147483647
using namespace std;
int n, m, s, cnt;
int dis[N], vis[N], head[N];
struct node {
    int next, to, w;
}tr[N];
void add (int x, int y, int z) {
    tr[++cnt].to = y;
    tr[cnt].next = head[x];
    tr[cnt].w = z;
    head[x] = cnt;
}
void spfa () {
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        dis[i] = inf;
    vis[s] = 1;
    q.push(s);
    dis[s] = 0;
    while (!q.empty()) {
        int he = q.front();
        q.pop();
        vis[he] = 0;
        for (int i = head[he]; i ;i = tr[i].next) {
            if (dis[tr[i].to] > dis[he] + tr[i].w) {
                dis[tr[i].to] = dis[he] + tr[i].w;
                if (!vis[tr[i].to]) {
                    vis[tr[i].to] = 1;
                    q.push(tr[i].to);
                }
            }
        }
    }
}
int main () {
    scanf ("%d%d%d", &n, &m, &s);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int a, b, c;
        scanf ("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add (a, b, c);
    }
    spfa ();
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        if (s == i) printf ("0 ");
        else printf ("%d ", dis[i]);
    return 0;
}

真的很感谢SovietPower非常耐心的给我讲！Orz