拉普拉斯------拉普拉斯变换

拉普拉斯------拉普拉斯变换

• • 条件
  • 拓展
  • 形式
  • 推导

条件

首先对傅里叶变换的条件进行一个讨论，也就是狄里赫利条件

1. 在任何周期内,f(x)需绝对可积;
2. 在任一有限区间中,f(x)只能取有限个最大值或最小值;
3. 在任何有限区间上,f(x)只能有有限个第一类间断点。

结合傅里叶变换的形式：$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(w)e^{iwx}dw$，$F(w)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-iwx}dx$
在一个广泛积分的操作之下，要求$f(x)$要可以积分，并且积分要有意义（收敛），才能保证对于相应的函数的拟合，所以能进行傅里叶变换的函数的范围就变小了。

拓展

为了使变换的函数范围更加广泛，需要对原先的函数进行一个修改，使新的函数可以尽可能满足要求，于是添加一个衰减因子，选用的是一个指数函数$e^{-bx}$，于是原先的$f(x)$就变为了$f(x)e^{-bx}$，只要b足够的大则新的函数$g(x)=f(x)e^{-bx}$对应的就存在傅里叶变换。

形式

带入之后$F(w)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-iwx}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-bx}{e}^{-iwx}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-(b+iw)x}dx$
令$s=b+iw$有$F(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-sx}dx$。
同样逆变换有：$f(x)e^{-bx}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(s)e^{iwx}dw$，对应$ds$与$dw$有$ds=idw$，于是有：$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(s)e^{iwx}{e}^{bx}dw=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{b-i\infty }^{b+i\infty }F(s)e^{sx}ds$
与傅里叶变换相比，变换之后的变量为一个虚数，有虚部和实部两部分，其中的实部来源于衰减因子，用于放宽满足条件的函数的范围，同时也可以将傅里叶变化看作特殊的（条件苛刻的）拉普拉斯变换。

推导

这里主要是瞥一眼这几个东西的联系：级数，积分，变换。
以一个常用的幂级数来举例：${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$
这里的$a_n$可以换一种表达，比如关于n的离散的函数$f(n)=a_n$，于是原先的${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$变为${\sum }_{n=0}^{\infty }f(n)x^n$，进一步在无穷细分的过程中离散的量趋向于连续，于是有${\int }_0^{\infty }f(n)x^{n}dn$，换一个字母可能好看点${\int }_0^{\infty }f(t)x^{t}dt$。

${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ -------------------离散量
${\int }_0^{\infty }f(n)x^{n}dn$ ---------------连续量

更进一步将这个幂级数看为一个级数函数$F(x)={\int }_0^{\infty }f(t)x^{t}dt$
这里的x也要满足条件，其范围必须被限制，同样$f(x)$也会被限制，对应到级数是相应的级数要收敛，对应到这里也就是变换了，其对应也就是狄里赫利条件，显然x的范围在$(0,1)$之间对于指数积分来说是比较安全的。进一步将x的形式改变一下$x=e^{lnx}$，原式就成了${\int }_0^{\infty }f(t)e^{tlnx}dt$，这里由于x在$(0,1)$上，于是有$lnx<0$，到这里与拉普拉斯变换就很近了，将$s=-lnx$就一模一样了，最后得到$F(s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$。

虽然这里的代换有点生涩，但是通过这种美化的方式，我们得以从级数，积分/求和(离散/连续)的角度来理解变换，与一般的函数相比，变换后变量也发生了改变，但是描述的对象还是同一个对象，只是获取了其另一个角度的面貌，或者说是获得了其另一个特征。