第三次作业

参考书《数据压缩导论（第4版）》  Page 100     题 5， 6

5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁的实质标签。

     表4-9 习题5、习题6的概率模型

字母	概率
a1	0.2
a2	0.3
a3	0.5

答：由题可知

映射：a₁<=>1，a₂<=>2，a₃<=>3

cdf：F_x(0) =0， F_x(1) =0.2，F_x(2) =P(a₁)+P(a₂)=0.5，F_x(3) =P(a₁)+P(a₂)+P(a₃)=1.0

上界：U⁽⁰⁾=1,   下界：L⁽⁰⁾=0

已知公式：U⁽ⁿ⁾=L^(n-1)+(U^(n-1)-L^(n-1))F_x(x_n)

              L⁽ⁿ⁾=L^(n-1)+(U^(n-1)-L^(n-1))F_x(x_n-1)

a_1： U⁽¹⁾=L⁽⁰⁾⁺(U⁽⁰⁾-L⁽⁰⁾)F_x(1)=0.2

      L⁽¹⁾=L⁽⁰⁾⁺(U⁽⁰⁾-L⁽⁰⁾)F_x(0)=0

上界：U⁽¹⁾=0.2,   下界：L⁽¹⁾=0

_a1a1： U⁽²⁾=L⁽¹⁾⁺(U⁽¹⁾-L⁽¹⁾)F_x(1)=0.04

          L⁽²⁾=L⁽¹⁾⁺(U⁽¹⁾-L⁽¹⁾)F_x(0)=0

上界：U⁽²⁾=0.04,   下界：L⁽²⁾=0

a₁a₁a_3：  U⁽³⁾=L⁽²⁾⁺(U⁽²⁾-L⁽²⁾)F_x(3)=0.04

              L⁽³⁾=L⁽²⁾⁺(U⁽²⁾-L⁽²⁾)F_x(2)=0.02

上界：U⁽³⁾=0.04,   下界：L⁽³⁾=0.02

a₁a₁a₃a_2：   U⁽⁴⁾=L⁽³⁾⁺(U⁽³⁾-L⁽³⁾)F_x(2)=0.03

                 L⁽⁴⁾=L⁽³⁾⁺(U⁽³⁾-L⁽³⁾)F_x(1)=0.024

上界：U⁽⁴⁾=0.03,   下界：L⁽⁴⁾=0.024

  

a₁a₁a₃a₂a_3： U⁽⁵⁾=L⁽⁴⁾⁺(U⁽⁴⁾-L⁽⁴⁾)F_x(3)=0.03

                  L⁽⁵⁾=L⁽⁴⁾⁺(U⁽⁴⁾-L⁽⁴⁾)F_x(2)=0.027

上界：U⁽⁵⁾=0.03,   下界：L⁽⁵⁾=0.027

a₁a₁a₃a₂a₃a_1：  U⁽⁶⁾=L⁽⁵⁾⁺(U⁽⁵⁾-L⁽⁵⁾)F_x(1)=0.0276

                      L⁽⁶⁾=L⁽⁵⁾⁺(U⁽⁵⁾-L⁽⁵⁾)F_x(0)=0.027

上界：U⁽⁶⁾=0.0276,   下界：L⁽⁶⁾=0.027

由此可得序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签为：

 T_x(113231)= ( u⁽⁶⁾ + l⁽⁶⁾   )/2

                 =(0.0276+0.027)/2

                 =0.0273

6、对于表4-9给出的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

答：由题可知

映射：a₁<=>1，a₂<=>2，a₃<=>3

cdf：F_x(0) =0， F_x(1) =0.2，F_x(2) =P(a₁)+P(a₂)=0.5，F_x(3) =P(a₁)+P(a₂)+P(a₃)=1.0

上界：U⁽⁰⁾=1,   下界：L⁽⁰⁾=0

已知公式：U⁽ⁿ⁾=L^(n-1)+(U^(n-1)-L^(n-1))F_x(x_n)

              L⁽ⁿ⁾=L^(n-1)+(U^(n-1)-L^(n-1))F_x(x_n-1)

第一层：

上界：U⁽⁰⁾=1.0,   下界：L⁽⁰⁾=0

t^*=(0.63215699-0)/(1-0)=0.63215699

F_x(2)=0.5≤t^*≤F_x(3)=1.0

output: 3

第二层：

上界：U⁽¹⁾=1.0,   下界：L⁽¹⁾=0.5

t^*=(0.63215699-0.5)/(1-0.5)=0.26431398

F_x(1)=0.2≤t^*≤F_x(2)=0.5

output: 2 

第三层：

上界：U⁽²⁾=0.75,   下界：L⁽²⁾=0.60

t^*=(0.63215699-0.60)/(0.75-0.60)=0.21437993

F_x(1)=0.2≤t^*≤F_x(2)=0.5

output: 2 

第四层：

上界：U⁽³⁾=0.675,   下界：L⁽³⁾=0.630

t^*=(0.63215699-0.630)/(0.675-0.630)=0.04793311

F_x(0)=0≤t^*≤F_x(1)=0.2

output: 1

第五层：

上界：U⁽⁴⁾=0.639,   下界：L⁽⁴⁾=0.630

t^*=(0.63215699-0.630)/(0.639-0.630)=0.23966556

 F_x(1)=0.2≤t^*≤F_x(2)=0.5

 output: 2

 第六层：

上界：U⁽⁵⁾=0.6345,   下界：L⁽⁵⁾=0.6318

t^*=(0.63215699-0.6318)/(0.6345-0.6318)=0.1322185

F_x(0)≤t^*≤F_x(1)

output: 1

第七层：

上界：U⁽⁶⁾=0.63234,   下界：L⁽⁶⁾=0.6318

t^*=(0.63215699-0.6318)/(0.63234-0.6318)=0.6610926

F_x(2)≤t^*≤F_x(3)

output: 3

第八层：

上界：U⁽⁷⁾=0.63234,   下界：L⁽⁷⁾=0.63207

t^*=(0.63215699-0.63207)/(0.63234-0.63207)=0.3221852

F_x(1)≤t^*≤F_x(2)

output: 2

第九层： 

上界：U⁽⁸⁾=0.632205,   下界：L⁽⁸⁾=0.632124

t^*=(0.63215699-0.632124)/(0.632205-0.632124)=0.40728395

F_x(1)≤t^*≤F_x(2)

output: 2

 第十层：

上界：U⁽⁹⁾=0.6321645,   下界：L⁽⁹⁾=0.6321402

t^*=(0.63215699-0.6321402)/(0.6321645-0.6321402)=0.6909

F_x(2)≤t^*≤F_x(3)

output: 3

所以这个序列为：3221213223