物体坐标系的思考

物体坐标系的思考

0. 引言

对于空间几何，一定需要坐标系吗？一定需要点坐标吗？本人只在初中阶段学过初等解析几何，没有系统学过向量。向量的学习是在与教小孩的过程中逐渐进步的。

从空间上看，可以使用距离和方向描述点之间的关系，使用距离和位置姿态（基底）描述物体之间的关系。点（物体）之间的关系并不依赖于坐标。

向量揭示了物体空间关系的本质。向量反映了具有大小和方向的量，与位置和坐标其实并没有关系。物体的空间关系可以看成一系列向量（长度和方向组成）。

那为什么要用坐标法来表示向量呢？在看清了事物的本质之后，我们需要借助于计算机的算力来进行大规模的2、3维计算。使用坐标表示向量，为我们开启了计算几何的大门。

1. 数学基础

1.1 向量(Vector)

向量指具有大小和方向的量。

1.2 基(Basic,基底)

1.2.1 线性无关

在一个向量空间(V_n)中，假设：

(a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n = 0)

只在 (a_1 = ⋯ = a_n = 0) 时成立，那么向量 ({e_1, e_2, ..., e_n}) 是线性无关的。
如果任何 (a_i) 不为零，那么这些向量是线性相关的，其中一个向量是其他向量的组合。

1.2.2 基底

在向量空间(V_n)中，任意向量(P)都可以由一组(n)个线性无关的向量集(B_n)组成，这样的向量集(B_n)称为基底(基)。其定义如下：
向量空间 (V_n) 的基底 (B_n) 是一组 (n) 个线性无关的向量 ({e_1, e_2, ..., e_n})，
对于任何 (V_n) 的向量 (P)，都存在实数 ({a_1, a_2, ..., a_n})，使得

$P = a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n $

2. 物体坐标系（2、3维）

2.1 基本定义

假设在统一坐标系下，有(n)个物体坐标系：

1. 设(N_n)为物体坐标系，它包含了原点(o_n)及基底 (M_n)。对于(N_n)中的向径，可以表示为(vec{p_n})。
2. 在两物体坐标系原点之间，(o_1 o o_2 的向量为overrightarrow{o_1o_2})

一般的, 点在物体坐标系(N_n)下的矩阵表示法为：

(overrightarrow{p_n} =overrightarrow{v_n}M_n)

其中：

• (v_n)是点在物体坐标系的向径
• (M_n)是物体坐标系在统一坐标系下的基

2.2 物体空间向量基本式

对于空间中同一点(p)，在 (N1) 和 (N2) 中的向径，根据向量的基本性质有如下关系：

(overrightarrow{p_1}=overrightarrow{o_1o_2}+overrightarrow{p_2})　　（式1）

或者

(overrightarrow{p_2}=overrightarrow{o_2o_1}+overrightarrow{p_1})　　（式2）

其中:

• (overrightarrow{p_1}) 　　为(o_1 o p)的向量
• (overrightarrow{o_1o_2})　为(o_1 o o_2的向量)
• (overrightarrow{p_2}) 　　为(o_2 o p)的向量
• (overrightarrow{o_2o_1})　为(o_2 o o_1 的向量)

2.3 物体空间向量基本式在物体坐标系转换中的应用

由于 式1 与 式2 形式相同，下面只对 式1 进行进一步推导:

(overrightarrow{v_1}M_1 = overrightarrow{o_1o_2} + overrightarrow{v_2}M_2)　　　　　　　　（式3）

(Longrightarrow overrightarrow{v_1}M_1M_1^{-1} = (overrightarrow{o_1o_2} + overrightarrow{v_2}M_2)M_1^{-1})

(Longrightarrow overrightarrow{v_1} = overrightarrow{o_1o_2}M_1^{-1} + overrightarrow{v_2}M_2M_1^{-1})　　　（式4）

同理，

(overrightarrow{v_2} = overrightarrow{o_2o_1}M_2^{-1} + overrightarrow{v_1}M_1M_2^{-1})　　　　　（式5）

式4（式5）描述了点在不同坐标系(N_1)，(N_2)中坐标的转换关系。