4.1 线性映射的概念

映射

(f:A o B)
像：(f:a mapsto b, b=f(a)，a)为原像
像集：(Imf=f(A):={f(a)|ain A})
满射：(f(A)=B)，像集是B全体
单射：(a_1 eq a_2in ARightarrow f(a_1) eq f(a_2))，原像不同，像不同
或(f(a_1)= f(a_2)in f(A)Rightarrow a_1= a_2in A)，像同，原像同

双射：即单又满

复合：(f:A o B,g:B o C,h:C o D)，则
(gcirc f:=g(f(a)))

复合：(f:A o B,g:B o C,h:C o D)，则
((hcirc g)circ f=hcirc (gcirc f))
(forall ain A, ((hcirc g)circ f)(a) = (hcirc g)(f(a))=h(g(f(a))))
(forall ain A, (hcirc (gcirc f))(a) = h((gcirc f)(a))=h(g(f(a))))

逆映射：(f:A o B)为双射，则(g:B o A,gf=1_A,fg=1_B,g=f^{-1})

命题4.1.1：设(f)是集合(A o B)的映射，如果(exists B o A)的映射(g)，(s.t.gf=1_A,fg=1_B,)
则(f)是双射，且(g=f^{-1})

满：(forall bin B,由g:B o A,exists a=g(b)in A, s.t. f(a)=f(g(b))=(fg)(b)=1_B(b)=b)
单：取(由f:A o B,取a_1,a_2in A, f(a_1)=f(a_2)in f(A),)
(a_1=1_A(a_1)=(gf)(a_1)=(g(f(a_1))=(g(f(a_2))=(gf)(a_2)=1_A(a_2)=a_2)

线性映射

定义4.1.1 设(varphi)是数域(K)上线性空间(V o U)的映射，如果(varphi)适合下列条件：

1. (varphi(alpha+eta)=varphi(alpha)+varphi(eta),alpha,etain V)
2. (varphi(kalpha)=kvarphi(alpha),kin K,alphain V)

则称(varphi是V o U)的线性映射。(V)到自身的线性映射称为(V)上的线性变换。若(varphi:V o U)是单的，则称(varphi)是单线性映射；若(varphi)是满的，则称(varphi)是满线性映射，若(varphi)是双射，则称(varphi)是线性同构（同构映射），简称同构。若(V=U,V)自身上的同构称为自同构。

命题4.1.2：设(varphi是V o U)的线性映射，则：

1. (varphi(0_V)=0_U);
2. (varphi(kalpha+leta)=kvarphi(alpha)+lvarphi(eta),alpha,etain V,k,lin K);
3. 若(varphi)同构，则其逆映射(varphi^{-1})也是线性映射，从而是(U o V)的同构。