莫比乌斯反演

莫比乌斯反演在数论中占有重要的地位，许多情况下能大大简化运算，特别是对于求解gcd的问题。

在学习莫比乌斯反演之前，我们先了解下积性函数。

积性函数：

定义：定义域为N+ 的函数 f，对于任意两个互质的正整数a, b: gcd(a, b) = 1，均满足f(ab) = f(a) ∗ f(b)，则函数f 被称为积性函数。假如对于任意两个正整数a, b 均有f(ab) = f(a) ∗ f(b)，则称f 为完全积性函数。

欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。

积性函数的性质：

• f(1) = 1

• 考虑一个大于1 的正整数N，设N =∏ pi^ai ,其中 pi 为互不相同的质数，那么对于一个积性函数 f, f(N) = f(∏pi^ai) = ∏ f(pi^ai) , 如果f 还满足完全积性，则 f(N) = ∏ f(pi)^ai 。

• 若 f(n), g(n) 均为积性函数，则函数h(n) = f(n)g(n) 也为积性函数。

• 若 f(n) 为积性函数，则函数F(n) = Σ_d|n f(d) 也是积性函数，反之亦然。

 

莫比乌斯反演

定理：和是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件，那么我们得到结论 。

这是莫比乌斯反演的一般描述，即：

而在算法竞赛中，我们常用的是它的另一种描述：

 

 

其中为莫比乌斯函数，它的定义如下：

（1）若，那么

（2）若，均为互异素数，那么

（3）其它情况下

 

对于函数，它有如下的常见性质：

（1）对任意正整数有

                        

证明：
① 当n == 1 时显然
② 当n ! = 1 时，将 n 分解可以得到 

在 n 的所有因子中，µ值不为零的只有所有质因子次数都为1的因子，其中质因数个数为 r 个的因子有 个
那么显然有：

只需证明    即可

二项式定理：

令  x = 1 , y = -1，代入即可得证。

（2）对任意正整数有

         

证明：

只需要令，代入莫比乌斯反演的公式即可

由欧拉函数的性质可得，结论得证。

现在我们来证明莫比乌斯反演定理。

证明：

这里我们利用了  这条性质。

线性筛选求莫比乌斯反演函数：

int vis[maxn];
int prime[maxn];
int cnt;
int mu[maxn];

void init()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    cnt=0;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<maxn;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j])
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            else
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
}