一、简介
无旋Treap（fhq_treap），是一种不用旋转的treap，其代码复杂度不高，应用范围广（能代替普通treap和splay的所有功能），是一种极其强大的平衡树。
无旋Treap是一个叫做范浩强的大佬发明的（快%啊！）
在我们一起学习无旋Treap之前，本蒟蒻有几句活想说：
1.无旋Treap我个人认为是最容易理解的一种平衡树，而且编程复杂度不高，功能还那么强大。
我一开始学平衡树的时候是先从普通的带旋转的Treap开始学的。那种Treap，我现在都没搞懂什么左旋右旋究竟是怎么一回事。
我当时真的以为我这辈子都不指望学会平衡树了，直到djq大佬（快%！）告诉了我这种很美妙的数据结构。
我真就不明白了，为什么那么多人愿意去学普通的Treap而不学无旋Treap。无旋Treap更容易理解，最主要的是他与普通的Treap相比能可持久化！（尽管我不会）
所以，在大家学习完无旋Treap以后，本蒟蒻请诸君不妨推广一下无旋Treap，造福更多的Oier。
2.关于无旋Treap和其他平衡树的比较：（这个建议大家学完无旋Treap再来看，可能感触会更深刻一些）
与AVL相比：旋转操作真的很浪费时间，最坏情况下复杂度为O(log n)，而且AVL树难写无比，不适合运用于算法竞赛。
与普通Treap相比：参见第一条
与splay相比：基本上可以代替splay的所有功能，但是在处理LCT问题上没有splay优秀
与rbt（红黑树相比）：红黑树特别难写是众所周知的。
与sbt相比：sbt是我认为的最强大的平衡树。但是无旋Treap中的merge、split操作的应用的广泛（可持久化Treap维护Hash之类的）是sbt做不到的。
二、Treap
什么是Treap？
Treap=Tree+heap
相信大家都知道二叉堆吧。父节点的权值比子节点都要大（或小）
而Treap，则是在BST（二叉查找树）的基础上，添加二叉堆中的这个元素。
Treap与heap的区别是，heap是完全二叉树，而Treap不是。
下面的
三、核心操作
我在前面说过，普通的Treap最烦人的地方便是旋转。
而无旋Treap是如何做到无旋的呢？
关键就在两个操作：merge和split
1.split
split,顾名思义，就是把一个平衡树分成两棵树。
split有两种：一种是按照权值split，一种是按照size来split。
如果按照权值split，那么分出来两棵树的第一棵树上的每一个数的大小都小于（或小于等于，视具体情况而定）x;
如果按照size split，那么分出来两棵树的第一棵树恰好有x个节点。
我们可以结合具体代码讲解：
inline void split(int k,int& l,int& r,int x){//理解时，我们可以把l当做是答案的第一个，r当做答案的第二个，这个函数的意义是：将以k为根的树按照val分为以l为根的树和以r为根的树。注意引用的作用 if(!k){ l=r=0;//分到底了，返回 return; } if(tree[k].val<x){//如果比它小 l=k;//那么x肯定在k的右子树里，先将k贴到第一个答案上 split(tree[l].r,tree[l].r,r,x);//把第一个答案的右子树按x分开，得到答案（这里自己理解一下，不难懂） }else{//反之亦然 r=k; split(tree[r].l,l,tree[r].l,x); } push_up(k); }
而按size split的道理是一样的：
inline void split(int k,int& l,int& r,int x){ if(!k){ l=r=0; return; } if(tree[tree[k].l].size+1<=x){ l=k; split(tree[l].r,tree[l].r,r,x-tree[tree[k].l].size-1);//注意这里有些变化 }else{ r=k; split(tree[r].l,l,tree[r].l,x); } push_up(k); }
这样就把一棵树分开了。
2.merge
merge就是把两颗原本分开的树合并在一起。
我们仍然结合具体代码讲解
inline void merge(int& k,int l,int r){//函数名的意义是：把以l为根的树和以r为根的树合并为以k为根的树 if(!l||!r){//合并到底，返回 k=l+r; return; } if(tree[l].p>tree[r].p){//默认大根堆 k=l;//先把l挂到k上 merge(tree[k].r,tree[k].r,r);//注意要满足BST性质 }else{//反之亦然 k=r; merge(tree[k].l,l,tree[k].l); } push_up(k); }
有了merge和split，其他平衡树的基本操作就好做多了
三、其他操作
inline void insert(int val){ int x,y; split(root,x,y,val-1); merge(x,x,New(val)); merge(root,x,y); } inline void Delete(int val){ int x,y,z; split(root,x,y,val); split(x,x,z,val-1); merge(z,tree[z].l,tree[z].r); merge(x,x,z); merge(root,x,y); } inline int rnk(int val){ int x,y; split(root,x,y,val-1); int ans=tree[x].size+1; merge(root,x,y); return ans; } inline int kth(int k){ int x=root; while(true){ if(k==tree[tree[x].l].size+1) return tree[x].val; if(k<=tree[tree[x].l]) x=tree[x].l; else k-=tree[tree[x].l].size+1,x=tree[x].r; } } inline int pre(int val){ int x,y; split(root,x,y,val-1); int ans=tree[x].val; merge(root,x,y); return ans; } inline int suf(int val){ int x,y; split(root,x,y,val); int ans=kth(tree[x].size+1); merge(root,x,y); return ans; }
最后给大家放上一道模板题P3369 【模板】普通平衡树
如有不足请指正，谢谢